مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 38, 22, 40, 36, 50, 22, 11.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 73,2.

μ = 70σ = 8x = 73,2

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,25, 0,2, 0,25, 0,3

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 4. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,1, 0,3, 0,3Y = 2X + 4

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0132. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,0132

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3,3. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

95%n₁ = 36E₁ = 3,390%

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,6 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p ≈ 0,6E = 0,0290%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 16 طالبًا، متوسط الدرجة 85، الانحراف المعياري 4,5. المجموعة 2: 10 طالبًا، متوسط الدرجة 92,3، الانحراف المعياري 8. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 16x̄₁ = 85s₁ = 4,5n₂ = 10x̄₂ = 92,3s₂ = 8

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 21. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 4σ = 21z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 58). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 58)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 13,4

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 219/7 = 31,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 6,714² + (−9,286)² + 8,714² + 4,714² + 18,71² + (−9,286)² + (−20,29)² = 1077

الانحراف المعياري

s = √(1077/6) = 13,4

الإجابة

s = 13,4

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (73,2 − 70)/8 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,158

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,25 + 2·0,2 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,6

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,25 + 4·0,2 + 9·0,25 + 16·0,3 = 8,1

التباين

Var(X) = 8,1 − 2,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

الإجابة

σ = 1,158

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 2,4

تشتت X

μ = 1,6, Var(X) = 1,44, σ_X = 1,2

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,2 = 2,4

الإجابة

σ_Y = 2,4

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·1,6 + 4 = 7,2.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 2,22

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,0132 = 0,9868

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9868 داخل الجدول واقرأ z.

z = 2,22

الإجابة

z = 2,22

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 2,77

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/1,96)·√(36/36) = 0,8393

الهامش الجديد

E₂ = 3,3·0,8393 = 2,77

الإجابة

E₂ = 2,77

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 1624

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,6·0,4/0,02² = 1624

قرّب إلى الأعلى

n = 1624

الإجابة

n = 1624

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,991

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (15·4,5² + 9·8²)/24 = 36,66

s_p = 6,054

الخطأ المعياري

SE = 6,054·√(1/16 + 1/10) = 2,441

إحصائية الاختبار

t = (85 − 92,3)/2,441 = −2,991

الإجابة

t = −2,991

مع df = 24، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,064؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 359

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·21/4)² = 358,8

قرّب إلى الأعلى

n = 359

الإجابة

n = 359

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9863

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 402/5 = 80,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 232

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1383

معامل الارتباط

r = 232/√(40·1383) = 0,9863

الإجابة

r = 0,9863

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,6

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 303/5 = 60,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 48

خط الانحدار

b = 48/10 = 4,8

a = 60,6 − 4,8·5 = 36,6

ŷ = 36,6 + 4,8·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 36,6 + 4,8·3,5 = 53,4

البُواقي

e = 58 − 53,4 = 4,6

الإجابة

e = 4,6

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1