مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 56, 30, 34, 44, 60, 16.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 140.

μ = 170σ = 20x = 140

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,25, 0,25, 0,15, 0,35

σ =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 12 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,6. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 12p = 0,6

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 539,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 6< 539.4 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 100σ = 15P = 80%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 106 h، الانحراف المعياري المعلوم 7 h. الطراز 2: 80 هاتفًا، المتوسط 109 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 106 hσ₁ = 7 hn₂ = 80x̄₂ = 109 hσ₂ = 14 h99%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 33. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 33E = 0,590%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 54,83 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 54,83s = 15n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 502,1. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 502,1σ = 5n = 3699%

L =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 27). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 27)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,64

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 240/6 = 40

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 16² + (−10)² + (−6)² + 4² + 20² + (−24)² = 1384

الانحراف المعياري

s = √(1384/5) = 16,64

الإجابة

s = 16,64

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (140 − 170)/20 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,2

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,25 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,35 = 1,6

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,25 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,35 = 4

التباين

Var(X) = 4 − 1,6² = 1,44

σ = √1,44 = 1,2

الإجابة

σ = 1,2

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,0003188

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,4¹² = 1,678 × 10⁻⁵

P(X = 1) = 12·0,6·0,4¹¹ = 0,000302

اجمعها

P = 1,678 × 10⁻⁵ + 0,000302 = 0,0003188

الإجابة

P = 0,0003188

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 510 kg, σ_T = 12·√6 = 29,39 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (539,4 − 510)/29,39 = 1

الاحتمال

P = Φ(1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 112,6 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 درجة

الإجابة

x = 112,62 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −7,508 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 106 − 109 = −3

الخطأ المعياري

SE = √(7²/80 + 14²/80) = 1,75

هامش الخطأ

E = 2,576·1,75 = 4,508

الفترة

−3 ± 4,508 → [−7,508, 1,508]

الإجابة

الحد الأدنى = −7,508 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 11788

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·33/0,5)² = 11787

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 11788

الإجابة

n = 11788

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,898

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√81 = 15/9 = 1,667

إحصائية الاختبار

t = (54,83 − 50)/1,667 = 2,898

الإجابة

t = 2,898

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 500

هامش الخطأ

E = 2,576·5/√36 = 2,147

حد الفترة

L = 502,1 − 2,147 = 500

الإجابة

L = 500

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9759

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 20/5 = 4

ȳ = 244/5 = 48,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 54

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 298,8

معامل التحديد

r² = 54²/(10·298,8) = 0,9759

الإجابة

r² = 0,9759

نحو 97,59% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 2,2

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 103/5 = 20,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −28

خط الانحدار

b = −28/10 = −2,8

a = 20,6 − (−2,8)·3 = 29

ŷ = 29 − 2,8·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 29 + (−2,8)·1,5 = 24,8

البُواقي

e = 27 − 24,8 = 2,2

الإجابة

e = 2,2

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1