مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 26, 42, 16, 22, 24.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 124.

μ = 100σ = 12x = 124

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,3, 0,35, 0,15

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €50 باحتمال 0,1 و€200 باحتمال 0,02؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €10€50: p = 0,1€200: p = 0,02

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 120 mm وانحراف معياري 0,3 mm؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 80 mm وانحراف معياري 0,4 mm. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 200,4 mm. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 120, σ_X = 0,3μ_Y = 80, σ_Y = 0,4X + Y > 200,4 mm

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

كتلة منتج X من الخط 1 وY من الخط 2 مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 500 g وانحراف معياري 8 g، ولـ Y متوسط 490 g وانحراف معياري 6 g. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 500 g, σ_X = 8 gμ_Y = 490 g, σ_Y = 6 g

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 11 مفردة متوسطها 92,5 وانحرافها المعياري s = 6. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 11x̄ = 92,5s = 695%t(10) = 2,228

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 26. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 0,5 على الأكثر؟

σ = 26E = 0,599%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 10 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 0,54 والانحراف المعياري للفروق 1. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 10d̄ = 0,54s_d = 1

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 120 من 200 مريضًا على العلاج A، و 51 من 100 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 120n₁ = 200x₂ = 51n₂ = 100

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 105Σy = 317Σx² = 2245Σy² = 20579Σxy = 6793

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 6,5.

n = 6x = 6,5

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 9,695

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 130/5 = 26

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 0² + 16² + (−10)² + (−4)² + (−2)² = 376

الانحراف المعياري

s = √(376/4) = 9,695

الإجابة

s = 9,695

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 2

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (124 − 100)/12 = 2

الإجابة

z = 2

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,9475

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 1·0,3 + 2·0,35 + 3·0,15 = 1,45

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,3 + 4·0,35 + 9·0,15 = 3,05

التباين

Var(X) = 3,05 − 1,45² = 0,9475

الإجابة

Var(X) = 0,9475

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −1 €

النتائج الصافية

G: 40 (p = 0,1), 190 (p = 0,02), −10 (p = 0,88)

القيمة المتوقعة

E(G) = 40·0,1 + 190·0,02 − 10·0,88 = −1 €

الإجابة

E(G) = −1 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2119

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 200 mm, σ = √(0,3² + 0,4²) = 0,5 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (200,4 − 200)/0,5 = 0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

الإجابة

P = 0,2119

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

توزيع الفرق

μ = 500 − 490 = 10 g, σ = 10 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/10 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 88,47

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 2,228

هامش الخطأ

E = 2,228·6/√11 = 4,031

الفترة

92,5 ± 4,031 → [88,47, 96,53]

الإجابة

الحد الأدنى = 88,47

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 17944

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·26/0,5)² = 17943

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 17944

الإجابة

n = 17944

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,708

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 1/√10 = 0,3162

إحصائية الاختبار

t = 0,54/0,3162 = 1,708

الإجابة

t = 1,708

مع df = 9، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,262؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 1,484

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 120/200 = 0,6

p̂₂ = 51/100 = 0,51

p̂ = 171/300 = 0,57

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,57·0,43·(1/200 + 1/100)) = 0,06063

إحصائية الاختبار

z = (0,6 − 0,51)/0,06063 = 1,484

الإجابة

z = 1,484

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9803

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 6793 − 105·317/5 = 136

S_xx = 2245 − 105²/5 = 40

S_yy = 20579 − 317²/5 = 481,2

معامل الارتباط

r = 136/√(40·481,2) = 0,9803

الإجابة

r = 0,9803

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 68,02

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 355/6 = 59,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 77,5

خط الانحدار

b = 77,5/17,5 = 4,429

a = 59,17 − 4,429·4,5 = 39,24

ŷ = 39,24 + 4,429·x

التنبؤ

ŷ = 39,24 + 4,429·6,5 = 68,02

الإجابة

ŷ = 68,02

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1