مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 13, 47, 43, 47, 16, 19, 15.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأقل من 106؟

μ = 100σ = 10x = 106

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,15, 0,3, 0,25, 0,3

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 8 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,1. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 8p = 0,1

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,9032. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,9032

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 5,4. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 90% من البيانات نفسها؟

99%n₁ = 25E₁ = 5,490%

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 16 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 10,2 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأدنى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 15، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 6,262 و 2,5% فوق 27,488.

n = 16s = 10,2 µmχ² = 6,262, 27,488

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يجري 6 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق 15,55 والانحراف المعياري للفروق 11,9. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μ_d = 0.

n = 6d̄ = 15,55s_d = 11,9

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 2 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 10. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 10E = 299%

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 137Σx² = 220Σy² = 4431Σxy = 986

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 63؟

n = 6ŷ = 63

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 16,14

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 200/7 = 28,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−15,57)² + 18,43² + 14,43² + 18,43² + (−12,57)² + (−9,571)² + (−13,57)² = 1564

الانحراف المعياري

s = √(1564/6) = 16,14

الإجابة

s = 16,14

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,7257

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 0,6

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(0,6) = 0,7257

P = 0,7257

الإجابة

P = 0,7257

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,11

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,15 + 2·0,3 + 3·0,25 + 4·0,3 = 2,7

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,15 + 4·0,3 + 9·0,25 + 16·0,3 = 8,4

التباين

Var(X) = 8,4 − 2,7² = 1,11

الإجابة

Var(X) = 1,11

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,8131

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,9⁸ = 0,4305

P(X = 1) = 8·0,1·0,9⁷ = 0,3826

اجمعها

P = 0,4305 + 0,3826 = 0,8131

الإجابة

P = 0,8131

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = −1,3

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = 1 − 0,9032 = 0,0968

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,0968 داخل الجدول واقرأ z.

z = −1,30

الإجابة

z = −1,30

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9875

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,02236 = −2,24

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2,24) = 0,9875

الإجابة

P = 0,9875

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 3,448

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (1,645/2,576)·√(25/25) = 0,6386

الهامش الجديد

E₂ = 5,4·0,6386 = 3,448

الإجابة

E₂ = 3,448

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 7,535 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 15·10,2² = 1561

حدّا σ²

1561/27,488 = 56,77

1561/6,262 = 249,2

حدّ σ

σ = √56,77 = 7,535 µm

الإجابة

σ = 7,535 µm

فترة 95% لـ σ: [7,535, 15,79] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 3,201

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 11,9/√6 = 4,858

إحصائية الاختبار

t = 15,55/4,858 = 3,201

الإجابة

t = 3,201

مع df = 5، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,571؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 166

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·10/2)² = 165,9

قرّب إلى الأعلى

n = 166

الإجابة

n = 166

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9964

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 986 − 30·137/5 = 164

S_xx = 220 − 30²/5 = 40

S_yy = 4431 − 137²/5 = 677,2

معامل الارتباط

r = 164/√(40·677,2) = 0,9964

الإجابة

r = 0,9964

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 19,94

المتوسطات

x̄ = 132/6 = 22

ȳ = 435/6 = 72,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 323

خط الانحدار

b = 323/70 = 4,614

a = 72,5 − 4,614·22 = −29,01

ŷ = −29,01 + 4,614·x

حلّ لإيجاد x

x = (63 − (−29,01))/4,614 = 19,94

الإجابة

x = 19,94

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1