الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 19, 22, 51, 57, 58.
n = 5
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 90.
μ = 70σ = 20x = 90
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,05, 0,25
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €6 باحتمال 0,15 و€20 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €2€6: p = 0,15€20: p = 0,05
E(G) = €
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,1867. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,1867
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 60% على يساره. أوجد حد القطع x.
μ = 500 hσ = 40 h60%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 78,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 4 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 73,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 78,5 hσ₁ = 4 hn₂ = 60x̄₂ = 73,5 hσ₂ = 16 h90%
E = h
8.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 7 قطعة، متوسط المحصول 44 kg، الانحراف المعياري 8 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 38 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 7x̄₁ = 44s₁ = 8n₂ = 7x̄₂ = 38s₂ = 1,595%t(12) = 2,179
الحد الأعلى = kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
يُزعم أن متوسط مجتمع ما 50؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 25. متوسط عينة عشوائية من 100 مشاهدة هو 53,15. اختبر H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ > 50. أوجد القيمة الاحتمالية p.
μ₀ = 50σ = 25n = 100x̄ = 53,15H₁: μ > μ₀
p =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 195 من 300 مريضًا على العلاج A، و 159 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 195n₁ = 300x₂ = 159n₂ = 300
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 6Σx = 48Σy = 434Σx² = 454Σy² = 32666Σxy = 3766
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5,5.
n = 5x = 5,5
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 19,3
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 207/5 = 41,4
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−22,4)² + (−19,4)² + 9,6² + 15,6² + 16,6² = 1489
الانحراف المعياري
s = √(1489/4) = 19,3
الإجابة
s = 19,3
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 1
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (90 − 70)/20 = 1
الإجابة
z = 1
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 2,41
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,05 + 4·0,25 = 1,7
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,05 + 16·0,25 = 5,3
التباين
Var(X) = 5,3 − 1,7² = 2,41
الإجابة
Var(X) = 2,41
4.الاحتمال
الإجابة: E(G) = −0,1 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 4 (p = 0,15), 18 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)
القيمة المتوقعة
E(G) = 4·0,15 + 18·0,05 − 2·0,8 = −0,1 €
الإجابة
E(G) = −0,1 €
القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 0,89
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,1867 = 0,8133
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,8133 داخل الجدول واقرأ z.
z = 0,89
الإجابة
z = 0,89
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 510 h
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,6
z من الجدول
z ≈ 0,25
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 500 + 0,25·40 = 510 h
الإجابة
x = 510 h
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 3,604 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 78,5 − 73,5 = 5
الخطأ المعياري
SE = √(4²/30 + 16²/60) = 2,191
هامش الخطأ
E = 1,645·2,191 = 3,604
الإجابة
E = 3,604 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
8.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأعلى = 12,7 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (6·8² + 6·1,5²)/12 = 33,13
sp = 5,755
هامش الخطأ
E = 2,179·5,755·√(1/7 + 1/7) = 6,703
الفترة
6 ± 6,703 → [−0,7035, 12,7]
الإجابة
الحد الأعلى = 12,7 kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: p = 0,1038
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
إحصائية الاختبار
SE = σ/√n = 25/√100 = 2,5
z = (53,15 − 50)/2,5 = 1,26
مساحة الذيل
Φ(1,26) = 0,8962
1 − Φ(1,26) = 0,1038
القيمة الاحتمالية
p = 0,1038
الإجابة
p = 0,1038
p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 2,988
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 195/300 = 0,65
p̂₂ = 159/300 = 0,53
p̂ = 354/600 = 0,59
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,59·0,41·(1/300 + 1/300)) = 0,04016
إحصائية الاختبار
z = (0,65 − 0,53)/0,04016 = 2,988
الإجابة
z = 2,988
|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9848
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 3766 − 48·434/6 = 294
Sxx = 454 − 48²/6 = 70
Syy = 32666 − 434²/6 = 1273
معامل الارتباط
r = 294/√(70·1273) = 0,9848
الإجابة
r = 0,9848
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 59,55
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 285/5 = 57
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 51
خط الانحدار
b = 51/10 = 5,1
a = 57 − 5,1·5 = 31,5
ŷ = 31,5 + 5,1·x
التنبؤ
ŷ = 31,5 + 5,1·5,5 = 59,55
الإجابة
ŷ = 59,55
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1