مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 35, 35, 50, 12, 24, 47.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 10. ما نسبة P القيم الأكبر من 55؟

μ = 70σ = 10x = 55

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4p(x): 0,2, 0,35, 0,1, 0,35

σ =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 10. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,3, 0,1, 0,15, 0,25, 0,2Y = −2X + 10

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 28,3 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 28,3 min

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 52 s, σ_X = 4 sμ_Y = 48 s, σ_Y = 3 s

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

فترة ثقة 95% لمتوسط، مبنية على 36 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 3,5. ما هامش الخطأ E₂ لفترة 99% مبنية على 324 مشاهدة؟

95%n₁ = 36E₁ = 3,599%n₂ = 324

E₂ =

8.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,6 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p ≈ 0,6E = 0,02595%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 116,9 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 116,9s = 20n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 65 من 100 مريضًا على العلاج A، و 128 من 250 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 65n₁ = 100x₂ = 128n₂ = 250

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 21Σy = 144Σx² = 91Σy² = 3520Σxy = 473

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟

n = 6ŷ = 15

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 14,22

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 203/6 = 33,83

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 1,167² + 1,167² + 16,17² + (−21,83)² + (−9,833)² + 13,17² = 1011

الانحراف المعياري

s = √(1011/5) = 14,22

الإجابة

s = 14,22

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9332

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−1,5) = 0,06681

P = 1 − 0,06681 = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

3.الاحتمال

الإجابة: σ = 1,158

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,2 + 2·0,35 + 3·0,1 + 4·0,35 = 2,6

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,2 + 4·0,35 + 9·0,1 + 16·0,35 = 8,1

التباين

Var(X) = 8,1 − 2,6² = 1,34

σ = √1,34 = 1,158

الإجابة

σ = 1,158

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,064

تشتت X

μ = 2,95, Var(X) = 2,348, σ_X = 1,532

التغيير الخطي

σ_Y = |−2|·1,532 = 3,064

الإجابة

σ_Y = 3,064

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·2,95 + 10 = 4,1.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9306

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (28,3 − 32)/2,5 = −1,48

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−1,48) = 1 − 0,06944 = 0,9306

الإجابة

P = 0,9306

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881

7.فترات الثقة

الإجابة: E₂ = 1,533

Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.

نسبة الهامشين

E₂/E₁ = (2,576/1,96)·√(36/324) = 0,4381

الهامش الجديد

E₂ = 3,5·0,4381 = 1,533

الإجابة

E₂ = 1,533

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 1476

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,6·0,4/0,025² = 1475

قرّب إلى الأعلى

n = 1476

الإجابة

n = 1476

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,395

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

إحصائية الاختبار

t = (116,9 − 120)/2,222 = −1,395

الإجابة

t = −1,395

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| < 1.99، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,345

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 65/100 = 0,65

p̂₂ = 128/250 = 0,512

p̂ = 193/350 = 0,5514

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,5514·0,4486·(1/100 + 1/250)) = 0,05885

إحصائية الاختبار

z = (0,65 − 0,512)/0,05885 = 2,345

الإجابة

z = 2,345

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9263

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

S_xy = 473 − 21·144/6 = −31

S_xx = 91 − 21²/6 = 17,5

S_yy = 3520 − 144²/6 = 64

معامل الارتباط

r = −31/√(17,5·64) = −0,9263

الإجابة

r = −0,9263

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 4,565

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 111/6 = 18,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −57,5

خط الانحدار

b = −57,5/17,5 = −3,286

a = 18,5 − (−3,286)·3,5 = 30

ŷ = 30 − 3,286·x

حلّ لإيجاد x

x = (15 − 30)/(−3,286) = 4,565

الإجابة

x = 4,565

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1