مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 47, 43, 16, 43, 55, 35, 15.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 82.

μ = 70σ = 20x = 82

z =

3.الاحتمالمتوسطة

بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 2 أشخاص من مجموعة من 12؟ الترتيب غير مهم.

n = 12k = 2

N =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 2X + 1. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,25, 0,35, 0,3, 0,1Y = 2X + 1

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 9 منها عن 224,3 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9< 224.3 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 70% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة70%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 مفردة متوسطها 24 وانحرافها المعياري s = 8. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للمتوسط.

n = 16x̄ = 24s = 890%t(15) = 1,753

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 84 kg، الانحراف المعياري 2 kg. مجموعة القطع 2: 6 قطعة، المتوسط 78 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 84s₁ = 2n₂ = 6x̄₂ = 78s₂ = 7,590%t(15) = 1,753

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 78,19 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78,19s = 15n = 64

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 4 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 26. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 4σ = 26z_α = 2,326z_β = 1,282

n =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 23.

n = 6x = 23

ŷ =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,39

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 254/7 = 36,29

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 10,71² + 6,714² + (−20,29)² + 6,714² + 18,71² + (−1,286)² + (−21,29)² = 1421

الانحراف المعياري

s = √(1421/6) = 15,39

الإجابة

s = 15,39

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,6

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (82 − 70)/20 = 0,6

الإجابة

z = 0,6

3.الاحتمال

الإجابة: N = 66

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

التوافيق

C(12, 2) = (12·11)/(2·1) = 66

الإجابة

N = 66

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 3,768

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 2,5, Var(X) = 3,55, σ_X = 1,884

التغيير الخطي

σ_Y = |2|·1,884 = 3,768

الإجابة

σ_Y = 3,768

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 2·2,5 + 1 = 6.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3192

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 225 kg, σ_T = 0,5·√9 = 1,5 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (224,3 − 225)/1,5 = −0,47

الاحتمال

P = Φ(−0,47) = 0,3192

الإجابة

P = 0,3192

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 107,8 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,7

z من الجدول

z ≈ 0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 + 0,52·15 = 107,8 درجة

الإجابة

x = 107,8 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 20,49

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 15, t = 1,753

هامش الخطأ

E = 1,753·8/√16 = 3,506

الفترة

24 ± 3,506 → [20,49, 27,51]

الإجابة

الحد الأدنى = 20,49

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 4,117 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (10·2² + 5·7,5²)/15 = 21,42

s_p = 4,628

هامش الخطأ

E = 1,753·4,628·√(1/11 + 1/6) = 4,117

الإجابة

E = 4,117 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,701

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√64 = 15/8 = 1,875

إحصائية الاختبار

t = (78,19 − 75)/1,875 = 1,701

الإجابة

t = 1,701

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 550

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·26/4)² = 550

قرّب إلى الأعلى

n = 550

الإجابة

n = 550

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,922

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 33/6 = 5,5

ȳ = 367/6 = 61,17

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 71,5

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 316,8

معامل التحديد

r² = 71,5²/(17,5·316,8) = 0,922

الإجابة

r² = 0,922

نحو 92,2% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 133,8

المتوسطات

x̄ = 114/6 = 19

ȳ = 669/6 = 111,5

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 391

خط الانحدار

b = 391/70 = 5,586

a = 111,5 − 5,586·19 = 5,371

ŷ = 5,371 + 5,586·x

التنبؤ

ŷ = 5,371 + 5,586·23 = 133,8

الإجابة

ŷ = 133,8

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1