مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 55, 21, 26, 22, 45, 60.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 5. ما نسبة P القيم الأقل من 180؟

μ = 170σ = 5x = 180

P =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 1, 2, 3, 4, 5p(x): 0,1, 0,35, 0,25, 0,05, 0,25

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

يحتوي اختبار على 10 أسئلة اختيار من متعدد. طالبة تخمّن تجيب عن كل سؤال صحيحًا باحتمال 0,4، باستقلال. ما احتمال P الحصول على 5 إجابات صحيحة بالضبط؟

n = 10p = 0,4k = 5

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 12 min وانحراف معياري 1,5 min؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 20 min وانحراف معياري 2 min. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 30,8 min. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 12, σ_X = 1,5μ_Y = 20, σ_Y = 2X + Y > 30,8 min

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أوزان الأكياس موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 95% منها (المئين 95).

μ = 250σ = 5P = 95%

x = g

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 15 مفردة متوسطها 66 وانحرافها المعياري s = 11. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 15x̄ = 66s = 1199%t(14) = 2,977

الحد الأدنى =

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 6 قطعة، متوسط المحصول 62 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 10 قطعة، المتوسط 55,5 kg، الانحراف المعياري 3,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 62s₁ = 5,5n₂ = 10x̄₂ = 55,5s₂ = 3,599%t(14) = 2,977

الحد الأدنى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 198,8 وانحرافها المعياري 5. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 198,8s = 5n = 36

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

في تجربة سريرية، تعافى 60 من 300 مريضًا على العلاج A، و 10 من 120 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.

x₁ = 60n₁ = 300x₂ = 10n₂ = 120

z =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (7, 41). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(7, 41)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,38

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 229/6 = 38,17

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 16,83² + (−17,17)² + (−12,17)² + (−16,17)² + 6,833² + 21,83² = 1511

الانحراف المعياري

s = √(1511/5) = 17,38

الإجابة

s = 17,38

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,9772

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 2

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(2) = 0,9772

P = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,8

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 1·0,1 + 2·0,35 + 3·0,25 + 4·0,05 + 5·0,25 = 3

متوسط المربعات

E(X²) = 1·0,1 + 4·0,35 + 9·0,25 + 16·0,05 + 25·0,25 = 10,8

التباين

Var(X) = 10,8 − 3² = 1,8

الإجابة

Var(X) = 1,8

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,2007

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صيغة ذي الحدين

P(X = 5) = 252·0,4⁵·0,6⁵ = 252·0,01024·0,07776 = 0,2007

الإجابة

P = 0,2007

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6844

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 32 min, σ = √(1,5² + 2²) = 2,5 min

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (30,8 − 32)/2,5 = −0,48

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(−0,48) = 1 − 0,3156 = 0,6844

الإجابة

P = 0,6844

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 258,2 g

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,95 → z = 1,645

العودة إلى x

x = 250 + 1,645·5 = 258,22 g

الإجابة

x = 258,22 g

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 57,54

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 14, t = 2,977

هامش الخطأ

E = 2,977·11/√15 = 8,455

الفترة

66 ± 8,455 → [57,54, 74,46]

الإجابة

الحد الأدنى = 57,54

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −0,1441 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (5·5,5² + 9·3,5²)/14 = 18,68

s_p = 4,322

هامش الخطأ

E = 2,977·4,322·√(1/6 + 1/10) = 6,644

الفترة

6,5 ± 6,644 → [−0,1441, 13,14]

الإجابة

الحد الأدنى = −0,1441 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −1,44

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 5/√36 = 5/6 = 0,8333

إحصائية الاختبار

t = (198,8 − 200)/0,8333 = −1,44

الإجابة

t = −1,44

t_{0,025; df = 35} = 2,03

|t| < 2.03، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = 2,898

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

نسبتا العينتين

p̂₁ = 60/300 = 0,2

p̂₂ = 10/120 = 0,08333

p̂ = 70/420 = 0,1667

الخطأ المعياري وفق H₀

SE = √(0,1667·0,8333·(1/300 + 1/120)) = 0,04025

إحصائية الاختبار

z = (0,2 − 0,08333)/0,04025 = 2,898

الإجابة

z = 2,898

|z| > 1,96، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9837

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 271/5 = 54,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 112

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 318,8

معامل التحديد

r² = 112²/(40·318,8) = 0,9837

الإجابة

r² = 0,9837

نحو 98,37% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,55

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 170/5 = 34

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 98

خط الانحدار

b = 98/40 = 2,45

a = 34 − 2,45·6 = 19,3

ŷ = 19,3 + 2,45·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 19,3 + 2,45·7 = 36,45

البُواقي

e = 41 − 36,45 = 4,55

الإجابة

e = 4,55

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1