الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 54, 22, 25, 50, 49, 57, 17.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 20. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 30.
μ = 70σ = 20x = 30
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,25, 0,15, 0,3
Var(X) =
4.الاحتمالصعبة
للمتغير X التوزيع الموضح، وY = −2X + 5. أوجد الانحراف المعياري σY للمتغير Y.
x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,1, 0,3, 0,3, 0,2, 0,1Y = −2X + 5
σY =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,6629. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,6629
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).
μ = 100σ = 15P = 10%
x = درجة
7.فترات الثقةمتوسطة
فترة ثقة 99% لمتوسط، مبنية على 25 مشاهدة و σ معلومة، لها هامش خطأ 9,3. ما هامش الخطأ E₂ إذا استخدمت الدراسة نفسها 225 مشاهدة بدلًا من ذلك؟
99%n₁ = 25E₁ = 9,3n₂ = 225
E₂ =
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 36. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 1 على الأكثر؟
σ = 36E = 199%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 40 جزءًا متوسط طولها 73,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 19 mm. الخط 2: عينة من 80 جزءًا متوسطها 80,1 mm، والانحراف المعياري المعلوم 19 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).
n₁ = 40x̄₁ = 73,5 mmσ₁ = 19 mmn₂ = 80x̄₂ = 80,1 mmσ₂ = 19 mm
z =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 25 قياسًا متوسطها 125,4. الانحراف المعياري للمجتمع 15. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.
x̄ = 125,4σ = 15n = 2595%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 9.
n = 5x = 9
ŷ =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17,02
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 274/7 = 39,14
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = 14,86² + (−17,14)² + (−14,14)² + 10,86² + 9,857² + 17,86² + (−22,14)² = 1739
الانحراف المعياري
s = √(1739/6) = 17,02
الإجابة
s = 17,02
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (30 − 70)/20 = −2
الإجابة
z = −2
3.الاحتمال
الإجابة: Var(X) = 1,447
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 1·0,25 + 2·0,15 + 3·0,3 = 1,45
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,25 + 4·0,15 + 9·0,3 = 3,55
التباين
Var(X) = 3,55 − 1,45² = 1,447
الإجابة
Var(X) = 1,447
4.الاحتمال
الإجابة: σY = 2,272
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
تشتت X
μ = 1,9, Var(X) = 1,29, σX = 1,136
التغيير الخطي
σY = |−2|·1,136 = 2,272
الإجابة
σY = 2,272
المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = −2·1,9 + 5 = 1,2.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 0,96
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = (1 + 0,6629)/2 = 0,8315
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,8315 داخل الجدول واقرأ z.
z = 0,96
الإجابة
z = 0,96
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 80,78 درجة
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,1 → z = −1,282
العودة إلى x
x = 100 + −1,282·15 = 80,78 درجة
الإجابة
x = 80,78 درجة
7.فترات الثقة
الإجابة: E₂ = 3,1
Confidence interval for a mean: x̄ ± margin of error. With a known population σ the margin is z·σ/√n; with only the sample standard deviation s, use t with n − 1 degrees of freedom: t·s/√n. Critical values: z = 1,645 (90%), 1,96 (95%), 2,576 (99%). To get a margin E or smaller, you need n ≥ (z·σ/E)², rounded up.
نسبة الهامشين
E₂/E₁ = (2,576/2,576)·√(25/225) = 0,3333
الهامش الجديد
E₂ = 9,3·0,3333 = 3,1
الإجابة
E₂ = 3,1
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 8600
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (2,576·36/1)² = 8600
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 8600
الإجابة
n = 8600
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = −1,794
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
الخطأ المعياري للفرق
SE = √(19²/40 + 19²/80) = √13,54 = 3,679
إحصائية الاختبار
z = (73,5 − 80,1)/3,679 = −1,794
الإجابة
z = −1,794
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 119,5
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,96·15/√25 = 5,88
حد الفترة
L = 125,4 − 5,88 = 119,5
الإجابة
L = 119,5
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,8679
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 142/6 = 23,67
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −18
Syy = Σ(y − ȳ)² = 21,33
معامل التحديد
r² = −18²/(17,5·21,33) = 0,8679
الإجابة
r² = 0,8679
نحو 86,79% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: ŷ = 43,05
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 186/5 = 37,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 78
خط الانحدار
b = 78/40 = 1,95
a = 37,2 − 1,95·6 = 25,5
ŷ = 25,5 + 1,95·x
التنبؤ
ŷ = 25,5 + 1,95·9 = 43,05
الإجابة
ŷ = 43,05
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1