مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 10, 37, 44, 60, 37, 25, 15.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 5. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 52.

μ = 50σ = 5x = 52

z =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و9 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

7 / 9

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 2, 4, 6p(x): 0,05, 0,35, 0,25, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. ما النسبة التي تقع بين 460 و 560 h؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 500σ = 40x₁ = 460x₂ = 560

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,02 mm وانحراف معياري 0,01 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,02 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,02 mm, σ = 0,01 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,02 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 30 مفردة متوسطها 103 وانحرافها المعياري s = 16,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 103s = 16,595%t(29) = 2,045

الحد الأعلى =

8.فترات الثقةصعبة

الانحراف المعياري للمجتمع 30. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 30E = 590%

n =

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 250؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 5. متوسط عينة عشوائية من 25 مشاهدة هو 251,92. اختبر H₀: μ = 250 مقابل H₁: μ > 250. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 250σ = 5n = 25x̄ = 251,92H₁: μ > μ₀

p =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.10 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 16. في الواقع المتوسط 495. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 495σ = 16n = 64α = 0,10

β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 6

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 14؟

n = 5ŷ = 14

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,31

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 228/7 = 32,57

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−22,57)² + 4,429² + 11,43² + 27,43² + 4,429² + (−7,571)² + (−17,57)² = 1798

الانحراف المعياري

s = √(1798/6) = 17,31

الإجابة

s = 17,31

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (52 − 50)/5 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,175

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 7/16 · 6/15 = 42/240 = 0,175

الإجابة

P = 0,175

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 18,87

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 3,8, Var(X) = 3,56, σ_X = 1,887

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·1,887 = 18,87

الإجابة

σ_Y = 18,87

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·3,8 − 3 = 35.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7745

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (460 − 500)/40 = −1

z₂ = (560 − 500)/40 = 1,5

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,5) − Φ(−1) = 0,9332 − 0,1587 = 0,7745

الإجابة

P = 0,7745

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8133

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,02 − 25 = 0,02 mm, σ = 0,02236 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,02)/0,02236 = −0,89

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,89) = 0,8133

الإجابة

P = 0,8133

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 109,2

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·16,5/√30 = 6,161

الفترة

103 ± 6,161 → [96,84, 109,2]

الإجابة

الحد الأعلى = 109,2

8.فترات الثقة

الإجابة: n = 98

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·30/5)² = 97,42

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 98

الإجابة

n = 98

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,02743

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 5/√25 = 1

z = (251,92 − 250)/1 = 1,92

مساحة الذيل

Φ(1,92) = 0,9726

1 − Φ(1,92) = 0,0274

القيمة الاحتمالية

p = 0,02743

الإجابة

p = 0,02743

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 11,16 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 500 − 1,282·2 = 497,4

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (497,4 − 495)/2 = 1,218

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z < 1.218) = 88.84%

β = 100% − 88,84% = 11,16%

الإجابة

β = 11,16%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9496

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 116/6 = 19,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −46

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 127,3

معامل التحديد

r² = −46²/(17,5·127,3) = 0,9496

الإجابة

r² = 0,9496

نحو 94,96% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,811

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 44/5 = 8,8

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 74

خط الانحدار

b = 74/40 = 1,85

a = 8,8 − 1,85·6 = −2,3

ŷ = −2,3 + 1,85·x

حلّ لإيجاد x

x = (14 − (−2,3))/1,85 = 8,811

الإجابة

x = 8,811

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1