مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 49, 50, 37, 39, 60, 16, 58.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 70 وانحراف معياري 12. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 74,8.

μ = 70σ = 12x = 74,8

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,2, 0,35, 0,3, 0,15

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €2 للمشاركة. تربح €6 باحتمال 0,15 و€40 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €2€6: p = 0,15€40: p = 0,05

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 8 منها عن 318,3 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 8< 318.3 g

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع درجات معدل الذكاء (IQ) توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 10% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 100 درجةσ = 15 درجة10%

x = درجة

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 80 هاتفًا، المتوسط 136 h، الانحراف المعياري المعلوم 5 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 139 h، الانحراف المعياري المعلوم 10 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 80x̄₁ = 136 hσ₁ = 5 hn₂ = 40x̄₂ = 139 hσ₂ = 10 h90%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 25 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 5,9 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 24، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 12,401 و 2,5% فوق 39,364.

n = 25s = 5,9 µmχ² = 12,401, 39,364

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 100؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 24. متوسط عينة عشوائية من 36 مشاهدة هو 108,48. اختبر H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ ≠ 100. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 100σ = 24n = 36x̄ = 108,48H₁: μ ≠ μ₀

p =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 25 قياسًا متوسطها 54,4. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 54,4σ = 10n = 2590%

L =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 52؟

n = 6ŷ = 52

x =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,12

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 309/7 = 44,14

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 4,857² + 5,857² + (−7,143)² + (−5,143)² + 15,86² + (−28,14)² + 13,86² = 1371

الانحراف المعياري

s = √(1371/6) = 15,12

الإجابة

s = 15,12

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = 0,4

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (74,8 − 70)/12 = 0,4

الإجابة

z = 0,4

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 0,94

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,2 + 1·0,35 + 2·0,3 + 3·0,15 = 1,4

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,2 + 1·0,35 + 4·0,3 + 9·0,15 = 2,9

التباين

Var(X) = 2,9 − 1,4² = 0,94

الإجابة

Var(X) = 0,94

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = 0,9 €

النتائج الصافية

G: 4 (p = 0,15), 38 (p = 0,05), −2 (p = 0,8)

القيمة المتوقعة

E(G) = 4·0,15 + 38·0,05 − 2·0,8 = 0,9 €

الإجابة

E(G) = 0,9 €

القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 320 g, σ_T = 1,2·√8 = 3,394 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (318,3 − 320)/3,394 = −0,5

الاحتمال

P = Φ(−0,5) = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 80,8 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,1

z من الجدول

z ≈ −1,28

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 100 − 1,28·15 = 80,8 درجة

الإجابة

x = 80,8 درجة

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −5,759 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 136 − 139 = −3

الخطأ المعياري

SE = √(5²/80 + 10²/40) = 1,677

هامش الخطأ

E = 1,645·1,677 = 2,759

الفترة

−3 ± 2,759 → [−5,759, −0,2413]

الإجابة

الحد الأدنى = −5,759 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 8,208 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 24·5,9² = 835,4

حدّا σ²

835,4/39,364 = 21,22

835,4/12,401 = 67,37

حدّ σ

σ = √67,37 = 8,208 µm

الإجابة

σ = 8,208 µm

فترة 95% لـ σ: [4,607, 8,208] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,03401

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 24/√36 = 4

z = (108,48 − 100)/4 = 2,12

مساحة الذيل

Φ(2,12) = 0,9830

1 − Φ(2,12) = 0,0170

القيمة الاحتمالية

p = 2·0,0170 = 0,03401

الإجابة

p = 0,03401

p ≤ 0,05، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 51,11

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√25 = 3,29

حد الفترة

L = 54,4 − 3,29 = 51,11

الإجابة

L = 51,11

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9154

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 95/5 = 19

ȳ = 376/5 = 75,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 944,8

معامل التحديد

r² = 186²/(40·944,8) = 0,9154

الإجابة

r² = 0,9154

نحو 91,54% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,511

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 352/6 = 58,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 118

خط الانحدار

b = 118/17,5 = 6,743

a = 58,67 − 6,743·3,5 = 35,07

ŷ = 35,07 + 6,743·x

حلّ لإيجاد x

x = (52 − 35,07)/6,743 = 2,511

الإجابة

x = 2,511

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1