مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 39, 58, 59, 19, 57.

n = 5

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 80؟

μ = 50σ = 20x = 80

P =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 6 كرات حمراء و8 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

6 / 8

P =

4.الاحتمالصعبة

للمتغير X التوزيع الموضح، وY = 10X − 3. أوجد الانحراف المعياري σ_Y للمتغير Y.

x: 0, 1, 2p(x): 0,35, 0,3, 0,35Y = 10X − 3

σ_Y =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 150,6 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 150.6 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقاس ضغط الدم لـ 16 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها −9,6 وانحرافها المعياري 0,8. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.

n = 16d̄ = −9,6s_d = 0,899%t(15) = 2,947

الحد الأعلى = mmHg

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 9 قطعة، متوسط المحصول 17 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 13 قطعة، المتوسط 27 kg، الانحراف المعياري 4,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 9x̄₁ = 17s₁ = 5,5n₂ = 13x̄₂ = 27s₂ = 4,599%t(20) = 2,845

E = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 504,1 وانحرافها المعياري 12. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 500.

μ₀ = 500x̄ = 504,1s = 12n = 25

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 36 قياسًا متوسطها 51,3. الانحراف المعياري للمجتمع 10. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 51,3σ = 10n = 3690%

U =

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 31). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(1,5, 31)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 17,4

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 232/5 = 46,4

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−7,4)² + 11,6² + 12,6² + (−27,4)² + 10,6² = 1211

الانحراف المعياري

s = √(1211/4) = 17,4

الإجابة

s = 17,4

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,06681

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = 1,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(1,5) = 0,9332

P = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,1648

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 6/14 · 5/13 = 30/182 = 0,1648

الإجابة

P = 0,1648

4.الاحتمال

الإجابة: σ_Y = 8,367

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

تشتت X

μ = 1, Var(X) = 0,7, σ_X = 0,8367

التغيير الخطي

σ_Y = |10|·0,8367 = 8,367

الإجابة

σ_Y = 8,367

المتوسط يتحرك فعلًا: E(Y) = 10·1 − 3 = 7.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6879

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 150 kg, σ_T = 0,5·√6 = 1,225 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (150,6 − 150)/1,225 = 0,49

الاحتمال

P = Φ(0,49) = 0,6879

الإجابة

P = 0,6879

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = −9,011 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 15, t = 2,947

هامش الخطأ

E = 2,947·0,8/√16 = 0,5894

الفترة

−9,6 ± 0,5894 → [−10,19, −9,011]

الإجابة

الحد الأعلى = −9,011 mmHg

8.فترات الثقة

الإجابة: E = 6,075 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (8·5,5² + 12·4,5²)/20 = 24,25

s_p = 4,924

هامش الخطأ

E = 2,845·4,924·√(1/9 + 1/13) = 6,075

الإجابة

E = 6,075 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,708

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 12/√25 = 12/5 = 2,4

إحصائية الاختبار

t = (504,1 − 500)/2,4 = 1,708

الإجابة

t = 1,708

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 54,04

هامش الخطأ

E = 1,645·10/√36 = 2,742

حد الفترة

U = 51,3 + 2,742 = 54,04

الإجابة

U = 54,04

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9779

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 100/5 = 20

ȳ = 297/5 = 59,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 90

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 384

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1713

معامل الارتباط

r = 384/√(90·1713) = 0,9779

الإجابة

r = 0,9779

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −5,305

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5

ȳ = 272/6 = 45,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 79

خط الانحدار

b = 79/17,5 = 4,514

a = 45,33 − 4,514·3,5 = 29,53

ŷ = 29,53 + 4,514·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 29,53 + 4,514·1,5 = 36,3

البُواقي

e = 31 − 36,3 = −5,305

الإجابة

e = −5,305

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1