الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 32, 18, 57, 39, 52.
n = 6
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 15. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 27,5.
μ = 50σ = 15x = 27,5
z =
3.الاحتمالمتوسطة
للتوزيع الموضح، أوجد الانحراف المعياري σ للمتغير X.
x: 0, 1, 2, 3p(x): 0,3, 0,2, 0,25, 0,25
σ =
4.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €10 للمشاركة. تربح €20 باحتمال 0,15 و€500 باحتمال 0,05؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €10€20: p = 0,15€500: p = 0,05
E(G) = €
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة تحت المنحنى الطبيعي القياسي، على يمين z، مساوية 0,0129. أوجد z بمنزلتين عشريتين.
A = 0,0129
z =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).
μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 103,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 6 h. الطراز 2: 60 هاتفًا، المتوسط 109 h، الانحراف المعياري المعلوم 11 h. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 30x̄₁ = 103,5 hσ₁ = 6 hn₂ = 60x̄₂ = 109 hσ₂ = 11 h90%
E = h
8.فترات الثقةصعبة
الانحراف المعياري للمجتمع 24. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للمتوسط 5 على الأكثر؟
σ = 24E = 595%
n =
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 196,4 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.
μ₀ = 200x̄ = 196,4s = 10n = 25
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 81 قياسًا متوسطها 49,3. الانحراف المعياري للمجتمع 20. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 49,3σ = 20n = 8190%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.
n = 6
r² =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 20). أوجد باقيها e = y − ŷ.
n = 5(1,5, 20)
e =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,19
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 232/6 = 38,67
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−4,667)² + (−6,667)² + (−20,67)² + 18,33² + 0,3333² + 13,33² = 1007
الانحراف المعياري
s = √(1007/5) = 14,19
الإجابة
s = 14,19
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = −1,5
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (27,5 − 50)/15 = −1,5
الإجابة
z = −1,5
3.الاحتمال
الإجابة: σ = 1,161
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
المتوسط
μ = 0·0,3 + 1·0,2 + 2·0,25 + 3·0,25 = 1,45
متوسط المربعات
E(X²) = 0·0,3 + 1·0,2 + 4·0,25 + 9·0,25 = 3,45
التباين
Var(X) = 3,45 − 1,45² = 1,348
σ = √1,348 = 1,161
الإجابة
σ = 1,161
4.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 18 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 10 (p = 0,15), 490 (p = 0,05), −10 (p = 0,8)
القيمة المتوقعة
E(G) = 10·0,15 + 490·0,05 − 10·0,8 = 18 €
الإجابة
E(G) = 18 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: z = 2,23
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على يسار z
Φ(z) = 1 − 0,0129 = 0,9871
اقرأ جدول z بالعكس
ابحث عن 0,9871 داخل الجدول واقرأ z.
z = 2,23
الإجابة
z = 2,23
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 173,3 cm
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745
العودة إلى x
x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm
الإجابة
x = 173,28 cm
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 2,95 h
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
التقدير النقطي
x̄₁ − x̄₂ = 103,5 − 109 = −5,5
الخطأ المعياري
SE = √(6²/30 + 11²/60) = 1,794
هامش الخطأ
E = 1,645·1,794 = 2,95
الإجابة
E = 2,95 h
الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.
8.فترات الثقة
الإجابة: n = 89
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
حُلّ لإيجاد n
n = (1,96·24/5)² = 88,51
قرّب إلى الأعلى
حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.
n = 89
الإجابة
n = 89
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −1,8
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√25 = 10/5 = 2
إحصائية الاختبار
t = (196,4 − 200)/2 = −1,8
الإجابة
t = −1,8
t0,025; df = 24 = 2,064
|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 45,64
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·20/√81 = 3,656
حد الفترة
L = 49,3 − 3,656 = 45,64
الإجابة
L = 45,64
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r² = 0,9479
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 128/6 = 21,33
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −41
Syy = Σ(y − ȳ)² = 101,3
معامل التحديد
r² = −41²/(17,5·101,3) = 0,9479
الإجابة
r² = 0,9479
نحو 94,79% من التباين في y يفسّره الخط.
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: e = −2,55
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 94/5 = 18,8
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25
خط الانحدار
b = −25/10 = −2,5
a = 18,8 − (−2,5)·3 = 26,3
ŷ = 26,3 − 2,5·x
القيمة المتنبَّأ بها
ŷ = 26,3 + (−2,5)·1,5 = 22,55
البُواقي
e = 20 − 22,55 = −2,55
الإجابة
e = −2,55
تقع النقطة تحت الخط.
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1