الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 34, 28, 49, 14, 34, 58, 37.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 8. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 54,8.
μ = 50σ = 8x = 54,8
z =
3.الاحتمالمتوسطة
يحتوي كيس على 8 كرات حمراء و6 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟
8 / 6
P =
4.الاحتمالصعبة
يُختبر 9 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,3. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟
n = 9p = 0,3
P =
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 62 و 67,5 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 65σ = 10x1 = 62x2 = 67,5
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 70% على يمينه. أوجد حد القطع x.
μ = 178 cmσ = 7 cm70%
x = cm
7.فترات الثقةمتوسطة
عينة من 13 مفردة متوسطها 78 وانحرافها المعياري s = 12,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 99% للمتوسط.
n = 13x̄ = 78s = 12,599%t(12) = 3,055
E =
8.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 5 قطعة، متوسط المحصول 26,5 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. مجموعة القطع 2: 7 قطعة، المتوسط 31,5 kg، الانحراف المعياري 10 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 5x̄₁ = 26,5s₁ = 5,5n₂ = 7x̄₂ = 31,5s₂ = 1095%t(10) = 2,228
الحد الأدنى = kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 96,33 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 100.
μ₀ = 100x̄ = 96,33s = 10n = 36
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
عينة من 25 قياسًا متوسطها 200,9. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.
x̄ = 200,9σ = 4n = 2590%
L =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.
n = 5
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 69؟
n = 5ŷ = 69
x =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 14,2
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 254/7 = 36,29
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−2,286)² + (−8,286)² + 12,71² + (−22,29)² + (−2,286)² + 21,71² + 0,7143² = 1209
الانحراف المعياري
s = √(1209/6) = 14,2
الإجابة
s = 14,2
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: z = 0,6
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = (54,8 − 50)/8 = 0,6
الإجابة
z = 0,6
3.الاحتمال
الإجابة: P = 0,3077
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
السحبة الأولى والثانية
P = 8/14 · 7/13 = 56/182 = 0,3077
الإجابة
P = 0,3077
4.الاحتمال
الإجابة: P = 0,196
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
صفر وعطل واحد
P(X = 0) = 0,79 = 0,04035
P(X = 1) = 9·0,3·0,78 = 0,1556
اجمعها
P = 0,04035 + 0,1556 = 0,196
الإجابة
P = 0,196
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,2166
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (62 − 65)/10 = −0,3
z₂ = (67,5 − 65)/10 = 0,25
المساحة بين القيمتين
P = Φ(0,25) − Φ(−0,3) = 0,5987 − 0,3821 = 0,2166
الإجابة
P = 0,2166
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 174,4 cm
من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.
المساحة على اليسار
Φ(z) = 0,3
z من الجدول
z ≈ −0,52
العودة إلى الوحدات الأصلية
x = 178 − 0,52·7 = 174,4 cm
الإجابة
x = 174,4 cm
7.فترات الثقة
الإجابة: E = 10,59
فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.
القيمة الحرجة
df = n − 1 = 12, t = 3,055
هامش الخطأ
E = 3,055·12,5/√13 = 10,59
الإجابة
E = 10,59
8.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = −16,08 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (4·5,5² + 6·10²)/10 = 72,1
sp = 8,491
هامش الخطأ
E = 2,228·8,491·√(1/5 + 1/7) = 11,08
الفترة
−5 ± 11,08 → [−16,08, 6,077]
الإجابة
الحد الأدنى = −16,08 kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −2,202
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 10/√36 = 10/6 = 1,667
إحصائية الاختبار
t = (96,33 − 100)/1,667 = −2,202
الإجابة
t = −2,202
t0,025; df = 35 = 2,03
|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: L = 199,6
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
هامش الخطأ
E = 1,645·4/√25 = 1,316
حد الفترة
L = 200,9 − 1,316 = 199,6
الإجابة
L = 199,6
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = 0,9656
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 46/5 = 9,2
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 66
Syy = Σ(y − ȳ)² = 116,8
معامل الارتباط
r = 66/√(40·116,8) = 0,9656
الإجابة
r = 0,9656
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 8,152
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 25/5 = 5
ȳ = 293/5 = 58,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 132
خط الانحدار
b = 132/40 = 3,3
a = 58,6 − 3,3·5 = 42,1
ŷ = 42,1 + 3,3·x
حلّ لإيجاد x
x = (69 − 42,1)/3,3 = 8,152
الإجابة
x = 8,152
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1