مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 52, 23, 42, 53, 40, 50, 48.

n = 7

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

درجات امتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 وانحراف معياري 60. أوجد الدرجة المعيارية z لدرجة 410.

μ = 500σ = 60x = 410

z =

3.الاحتمالمتوسطة

للتوزيع الموضح، أوجد التباين Var(X) للمتغير X.

x: 0, 1, 2, 3, 4p(x): 0,3, 0,1, 0,25, 0,3, 0,05

Var(X) =

4.الاحتمالصعبة

يُختبر 7 مكونات، ويتعطل كل منها باستقلال باحتمال 0,3. ما احتمال P أن يتعطل واحد على الأكثر؟

n = 7p = 0,3

P =

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل الركاب مع أمتعتهم مستقلة وطبيعية بمتوسط 85 kg وانحراف معياري 12 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 4 منها 388 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 85 kgσ = 12 kgn = 4> 388 kg

P =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 25% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm25%

x = cm

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 40 هاتفًا، المتوسط 98,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 18 h. الطراز 2: 40 هاتفًا، المتوسط 106 h، الانحراف المعياري المعلوم 14 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 98,5 hσ₁ = 18 hn₂ = 40x̄₂ = 106 hσ₂ = 14 h99%

الحد الأدنى = h

8.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 14 kg، الانحراف المعياري 8 kg. مجموعة القطع 2: 11 قطعة، المتوسط 12,5 kg، الانحراف المعياري 5,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 14s₁ = 8n₂ = 11x̄₂ = 12,5s₂ = 5,595%t(20) = 2,086

الحد الأدنى = kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 64 طالبًا متوسط درجاتها 76,2 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 76,2s = 8n = 64

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 80 مقابل H₁: μ > 80 عند α = 0,01 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 16. في الواقع المتوسط 85,4. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 80μ = 85,4σ = 16n = 64α = 0,01

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5

r² =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (4, 49). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(4, 49)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 10,47

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 308/7 = 44

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = 8² + (−21)² + (−2)² + 9² + (−4)² + 6² + 4² = 658

الانحراف المعياري

s = √(658/6) = 10,47

الإجابة

s = 10,47

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: z = −1,5

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (410 − 500)/60 = −1,5

الإجابة

z = −1,5

3.الاحتمال

الإجابة: Var(X) = 1,71

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

المتوسط

μ = 0·0,3 + 1·0,1 + 2·0,25 + 3·0,3 + 4·0,05 = 1,7

متوسط المربعات

E(X²) = 0·0,3 + 1·0,1 + 4·0,25 + 9·0,3 + 16·0,05 = 4,6

التباين

Var(X) = 4,6 − 1,7² = 1,71

الإجابة

Var(X) = 1,71

4.الاحتمال

الإجابة: P = 0,3294

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

صفر وعطل واحد

P(X = 0) = 0,7⁷ = 0,08235

P(X = 1) = 7·0,3·0,7⁶ = 0,2471

اجمعها

P = 0,08235 + 0,2471 = 0,3294

الإجابة

P = 0,3294

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,02275

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 340 kg, σ_T = 12·√4 = 24 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (388 − 340)/24 = 2

الاحتمال

P = 1 − Φ(2) = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 173,3 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,25

z من الجدول

z ≈ −0,67

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 0,67·7 = 173,3 cm

الإجابة

x = 173,3 cm

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −16,79 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 98,5 − 106 = −7,5

الخطأ المعياري

SE = √(18²/40 + 14²/40) = 3,606

هامش الخطأ

E = 2,576·3,606 = 9,288

الفترة

−7,5 ± 9,288 → [−16,79, 1,788]

الإجابة

الحد الأدنى = −16,79 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −4,606 kg

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (10·8² + 10·5,5²)/20 = 47,13

s_p = 6,865

هامش الخطأ

E = 2,086·6,865·√(1/11 + 1/11) = 6,106

الفترة

1,5 ± 6,106 → [−4,606, 7,606]

الإجابة

الحد الأدنى = −4,606 kg

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√64 = 8/8 = 1

إحصائية الاختبار

t = (76,2 − 75)/1 = 1,2

الإجابة

t = 1,2

t_{0,025; df = 63} = 1,998

|t| < 1.998، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 64,58 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 16/√64 = 2

x̄_c = 80 + 2,326·2 = 84,65

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (84,65 − 85,4)/2 = −0,374

القدرة

القوة = P(Z > −0,374) = 64,58%

1 − β = 64,58%

الإجابة

1 − β = 64,58%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,9614

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 90/5 = 18

ȳ = 362/5 = 72,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 144

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 539,2

معامل التحديد

r² = 144²/(40·539,2) = 0,9614

الإجابة

r² = 0,9614

نحو 96,14% من التباين في y يفسّره الخط.

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 3,05

المتوسطات

x̄ = 35/5 = 7

ȳ = 313/5 = 62,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222

خط الانحدار

b = 222/40 = 5,55

a = 62,6 − 5,55·7 = 23,75

ŷ = 23,75 + 5,55·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 23,75 + 5,55·4 = 45,95

البُواقي

e = 49 − 45,95 = 3,05

الإجابة

e = 3,05

تقع النقطة فوق الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1