مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

الإحصاء الوصفي

المتوسط: x̄ = Σx/n
الانحراف المعياري للعينة: s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
الوسيط: القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
التوزيع الطبيعي: 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ

الاحتمال

الحدث المتمم: P(not A) = 1 − P(A)
قاعدة الجمع: P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
أحداث مستقلة: P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
الاحتمال الشرطي: P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
ذو الحدين: P(X = k) = C(n,k)·p^k(1 − p)^n−k

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

2مسائل تدريبية

1.الإحصاء الوصفيمتوسطة

أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 40, 58, 41, 42, 12, 51.

n = 6

s =

2.الإحصاء الوصفيصعبة

كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 50 وانحراف معياري 20. ما نسبة P القيم الأكبر من 40؟

μ = 50σ = 20x = 40

P =

3.الاحتمالمتوسطة

يحتوي كيس على 7 كرات حمراء و3 زرقاء. تسحب كرتين دون إعادة الأولى. ما احتمال P أن تكون الاثنتان حمراوين؟

7 / 3

P =

4.الاحتمالصعبة

تكلفة لعبة €5 للمشاركة. تربح €10 باحتمال 0,25 و€50 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.

مبلغ المشاركة = €5€10: p = 0,25€50: p = 0,01

E(G) = €

5.التوزيع الطبيعيمتوسطة

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,4778. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,4778

z =

6.التوزيع الطبيعيصعبة

أقطار الثقوب D طبيعية بمتوسط 25,05 mm وانحراف معياري 0,02 mm. وأقطار الأعمدة d مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 mm وانحراف معياري 0,015 mm. يناسب العمود المختار عشوائيًا حين D − d > 0. أوجد الاحتمال P بأن يناسب. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

الثقب: μ = 25,05 mm, σ = 0,02 mmالعمود: μ = 25 mm, σ = 0,015 mm

P =

7.فترات الثقةمتوسطة

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 30 هاتفًا، المتوسط 62,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 16 h. الطراز 2: 30 هاتفًا، المتوسط 60,5 h، الانحراف المعياري المعلوم 17 h. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 30x̄₁ = 62,5 hσ₁ = 16 hn₂ = 30x̄₂ = 60,5 hσ₂ = 17 h95%

الحد الأعلى = h

8.فترات الثقةصعبة

لأقطار 15 عمودًا مشغولًا آليًا انحراف معياري للعينة قدره 4,8 µm. بافتراض أن الأقطار موزّعة طبيعيًا، أوجد الحد الأعلى σ لفترة الثقة 95% للانحراف المعياري للمجتمع. مع df = 14، يقع 2,5% من توزيع χ² دون 5,629 و 2,5% فوق 26,119.

n = 15s = 4,8 µmχ² = 5,629, 26,119

σ = µm

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 202,6 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 202,6s = 8n = 81

t =

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 100 مقابل H₁: μ > 100 عند α = 0,10 بعينة من 25؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 2,5. في الواقع المتوسط 100,7. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 100μ = 100,7σ = 2,5n = 25α = 0,10

1 − β = %

11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (8, 46). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(8, 46)

e =

3المحاليل

1.الإحصاء الوصفي

الإجابة: s = 15,69

الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.

المتوسط

x̄ = 244/6 = 40,67

مربعات الانحرافات

Σ(x − x̄)² = (−0,6667)² + 17,33² + 0,3333² + 1,333² + (−28,67)² + 10,33² = 1231

الانحراف المعياري

s = √(1231/5) = 15,69

الإجابة

s = 15,69

2.الإحصاء الوصفي

الإجابة: P = 0,6915

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = −0,5

جدول التوزيع الطبيعي المعياري

Φ(−0,5) = 0,3085

P = 1 − 0,3085 = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

3.الاحتمال

الإجابة: P = 0,4667

الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.

السحبة الأولى والثانية

P = 7/10 · 6/9 = 42/90 = 0,4667

الإجابة

P = 0,4667

4.الاحتمال

الإجابة: E(G) = −2 €

المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσ_Y = |a|·σ_X؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.

النتائج الصافية

G: 5 (p = 0,25), 45 (p = 0,01), −5 (p = 0,74)

القيمة المتوقعة

E(G) = 5·0,25 + 45·0,01 − 5·0,74 = −2 €

الإجابة

E(G) = −2 €

القيمة السالبة تعني أنك تخسر مالًا في المتوسط.

5.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,64

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,4778)/2 = 0,7389

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,7389 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,64

الإجابة

z = 0,64

6.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9772

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 25,05 − 25 = 0,05 mm, σ = 0,025 mm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 0,05)/0,025 = −2

الاحتمال

P = 1 − Φ(−2) = 0,9772

الإجابة

P = 0,9772

7.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 10,35 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 62,5 − 60,5 = 2

الخطأ المعياري

SE = √(16²/30 + 17²/30) = 4,262

هامش الخطأ

E = 1,96·4,262 = 8,354

الفترة

2 ± 8,354 → [−6,354, 10,35]

الإجابة

الحد الأعلى = 10,35 h

الفترة تحتوي على 0، لذا لا تُظهر البيانات فرقًا دالًّا إحصائيًا.

8.فترات الثقة

الإجابة: σ = 7,57 µm

فترة للتباين: (n − 1)s²/σ² له توزيع χ² بدرجات حرية n − 1. فترة 95% لـ σ² تمتدّ من (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² العليا (2,5% فوقها) إلى (n − 1)s² مقسومًا على قيمة χ² الدنيا (2,5% دونها)؛ والفترة لـ σ هي الجذر التربيعي للحدّين. وهي غير متماثلة حول s.

مجموع المربعات

(n − 1)s² = 14·4,8² = 322,6

حدّا σ²

322,6/26,119 = 12,35

322,6/5,629 = 57,3

حدّ σ

σ = √57,3 = 7,57 µm

الإجابة

σ = 7,57 µm

فترة 95% لـ σ: [3,514, 7,57] µm.

9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,925

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√81 = 8/9 = 0,8889

إحصائية الاختبار

t = (202,6 − 200)/0,8889 = 2,925

الإجابة

t = 2,925

t_{0,025; df = 80} = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 54,7 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 2,5/√25 = 0,5

x̄_c = 100 + 1,282·0,5 = 100,6

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (100,6 − 100,7)/0,5 = −0,118

القدرة

القوة = P(Z > −0,118) = 54,7%

1 − β = 54,7%

الإجابة

1 − β = 54,7%

11.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9886

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6

ȳ = 364/6 = 60,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 294

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 1263

معامل الارتباط

r = 294/√(70·1263) = 0,9886

الإجابة

r = 0,9886

12.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −5,333

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8

ȳ = 308/6 = 51,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 186

خط الانحدار

b = 186/70 = 2,657

a = 51,33 − 2,657·8 = 30,08

ŷ = 30,08 + 2,657·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 30,08 + 2,657·8 = 51,33

البُواقي

e = 46 − 51,33 = −5,333

الإجابة

e = −5,333

تقع النقطة تحت الخط.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1