الإحصاء الوصفي
- المتوسط
- x̄ = Σx/n
- الانحراف المعياري للعينة
- s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1))
- الوسيط
- القيمة الوسطى للبيانات المرتبة
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- التوزيع الطبيعي
- 68% ضمن ±1σ، و 95% ضمن ±2σ
مبادئ الإحصاء: حزمة المراجعة المكثفة
أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و12 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.
1القوانين وطرق الحل
الاحتمال
- الحدث المتمم
- P(not A) = 1 − P(A)
- قاعدة الجمع
- P(A ∪ B) = P(A) + P(B) − P(A ∩ B)
- أحداث مستقلة
- P(A ∩ B) = P(A)·P(B)
- الاحتمال الشرطي
- P(A|B) = P(A ∩ B)/P(B)
- ذو الحدين
- P(X = k) = C(n,k)·pk(1 − p)n−k
التوزيع الطبيعي
- الدرجة المعيارية z
- z = (x − μ)/σ
- أقل من x
- P(X < x) = Φ(z)
- أكبر من x
- P(X > x) = 1 − Φ(z)
- بين قيمتين
- Φ(z2) − Φ(z1)
- المئين
- x = μ + z·σ
الطريقة
- حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
- ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
- للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
- للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.
فترات الثقة
- σ معلومة
- x̄ ± z·σ/√n
- σ مجهولة
- x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
- z الحرجة
- 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
- حجم العينة
- n = (z·σ/E)², rounded up
الطريقة
- اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
- أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
- هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
- الفترة: x̄ ± E.
اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
- اختبار z للمتوسط
- z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
- اختبار t للمتوسط
- t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
- ثنائي الطرف عند 5%
- ارفض H0 إذا |z| > 1,96
- فترة الثقة
- x̄ ± z·σ/√n
الطريقة
- اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
- احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
- قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
- ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.
الانحدار الخطي والارتباط
- مجاميع المربعات
- Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
- الميل
- b = Sxy/Sxx
- المقطع
- a = ȳ − b·x̄
- الارتباط
- r = Sxy/√(SxxSyy)
- البُواقي
- e = y − ŷ
2مسائل تدريبية
1.الإحصاء الوصفيمتوسطة
أوجد الانحراف المعياري للعينة s للبيانات: 33, 48, 10, 28, 24, 60, 47.
n = 7
s =
2.الإحصاء الوصفيصعبة
كمية موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 170 وانحراف معياري 12. ما نسبة P القيم الأكبر من 146؟
μ = 170σ = 12x = 146
P =
3.الاحتمالمتوسطة
بكم طريقة N يمكن اختيار لجنة من 2 أشخاص من مجموعة من 9؟ الترتيب غير مهم.
n = 9k = 2
N =
4.الاحتمالصعبة
تكلفة لعبة €1 للمشاركة. تربح €5 باحتمال 0,2 و€20 باحتمال 0,01؛ وإلا فلا تربح شيئًا. لا يُسترد مبلغ المشاركة. أوجد الربح الصافي المتوقع E(G) في اللعبة الواحدة.
مبلغ المشاركة = €1€5: p = 0,2€20: p = 0,01
E(G) = €
5.التوزيع الطبيعيمتوسطة
أزمنة التوصيل موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 32 min وانحراف معياري 6 min. ما النسبة التي تقع بين 23 و 38 min؟ أعطِ P كعدد عشري.
μ = 32σ = 6x1 = 23x2 = 38
P =
6.التوزيع الطبيعيصعبة
أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 99% منها (المئين 99).
μ = 500σ = 40P = 99%
x = h
7.فترات الثقةمتوسطة
يُقاس ضغط الدم لـ 20 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 2,2 وانحرافها المعياري 3,3. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 90% لمتوسط الفروق.
n = 20d̄ = 2,2sd = 3,390%t(19) = 1,729
الحد الأدنى = mmHg
8.فترات الثقةصعبة
يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 6 قطعة، متوسط المحصول 39 kg، الانحراف المعياري 8 kg. مجموعة القطع 2: 20 قطعة، المتوسط 44,5 kg، الانحراف المعياري 5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.
n₁ = 6x̄₁ = 39s₁ = 8n₂ = 20x̄₂ = 44,5s₂ = 595%t(24) = 2,064
E = kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 104,5 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.
μ₀ = 120x̄ = 104,5s = 20n = 16
t =
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
في تجربة سريرية، تعافى 130 من 200 مريضًا على العلاج A، و 174 من 300 مريضًا على العلاج B. باستخدام النسبة المجمَّعة، أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: p₁ = p₂.
x₁ = 130n₁ = 200x₂ = 174n₂ = 300
z =
11.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.
n = 5Σx = 15Σy = 119Σx² = 55Σy² = 2871Σxy = 338
r =
12.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 50؟
n = 5ŷ = 50
x =
3المحاليل
1.الإحصاء الوصفي
الإجابة: s = 17
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
المتوسط
x̄ = 250/7 = 35,71
مربعات الانحرافات
Σ(x − x̄)² = (−2,714)² + 12,29² + (−25,71)² + (−7,714)² + (−11,71)² + 24,29² + 11,29² = 1733
الانحراف المعياري
s = √(1733/6) = 17
الإجابة
s = 17
2.الإحصاء الوصفي
الإجابة: P = 0,9772
الإحصاء الوصفي: المتوسط هو المجموع مقسومًا على n؛ والوسيط هو القيمة الوسطى للبيانات المرتبة (متوسط القيمتين الوسطيين عندما يكون n زوجيًا). الانحراف المعياري للعينة s = √(Σ(x − x̄)²/(n − 1)). الدرجة المعيارية z = (x − μ)/σ تبيّن كم انحرافًا معياريًا تبعد القيمة عن المتوسط.
حوّل إلى الصيغة المعيارية
z = −2
جدول التوزيع الطبيعي المعياري
Φ(−2) = 0,02275
P = 1 − 0,02275 = 0,9772
الإجابة
P = 0,9772
3.الاحتمال
الإجابة: N = 36
الاحتمال: مع النتائج المتساوية الاحتمال، P(A) = المواتية/الكلية. للأحداث المستقلة نضرب: P(A و B) = P(A)·P(B). كثيرًا ما يفيد الحدث المتمم: P(واحد على الأقل) = 1 − P(لا شيء). ذو الحدين: في n محاولة مستقلة باحتمال نجاح p، P(X = k) = C(n, k)·pᵏ·(1 − p)ⁿ⁻ᵏ.
التوافيق
C(9, 2) = (9·8)/(2·1) = 36
الإجابة
N = 36
4.الاحتمال
الإجابة: E(G) = 0,2 €
المتغيرات العشوائية المتقطعة: يسرد التوزيع الاحتمالي كل قيمة x يمكن أن يأخذها المتغير مع احتمالها p(x)؛ والاحتمالات بين 0 و1 ومجموعها 1. القيمة المتوقعة (المتوسط) هي E(X) = Σx·p(x)، أي المتوسط على المدى الطويل. والتباين Var(X) = Σ(x − μ)²·p(x) = E(X²) − μ²، والانحراف المعياري σ = √Var(X). للتغيير الخطي Y = aX + b: E(Y) = a·E(X) + b وVar(Y) = a²·Var(X) وσY = |a|·σX؛ وإضافة ثابت لا تغيّر التشتت.
النتائج الصافية
G: 4 (p = 0,2), 19 (p = 0,01), −1 (p = 0,79)
القيمة المتوقعة
E(G) = 4·0,2 + 19·0,01 − 1·0,79 = 0,2 €
الإجابة
E(G) = 0,2 €
القيمة الموجبة تعني أنك تربح مالًا في المتوسط.
5.التوزيع الطبيعي
الإجابة: P = 0,7745
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
الدرجات المعيارية
z₁ = (23 − 32)/6 = −1,5
z₂ = (38 − 32)/6 = 1
المساحة بين القيمتين
P = Φ(1) − Φ(−1,5) = 0,8413 − 0,06681 = 0,7745
الإجابة
P = 0,7745
6.التوزيع الطبيعي
الإجابة: x = 593,1 h
التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.
قيمة z للمئين
Φ(z) = 0,99 → z = 2,326
العودة إلى x
x = 500 + 2,326·40 = 593,05 h
الإجابة
x = 593,05 h
7.فترات الثقة
الإجابة: الحد الأدنى = 0,9242 mmHg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
القيمة الحرجة
df = 19, t = 1,729
هامش الخطأ
E = 1,729·3,3/√20 = 1,276
الفترة
2,2 ± 1,276 → [0,9242, 3,476]
الإجابة
الحد الأدنى = 0,9242 mmHg
8.فترات الثقة
الإجابة: E = 5,529 kg
Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.
الانحراف المعياري المجمَّع
sp² = (5·8² + 19·5²)/24 = 33,13
sp = 5,755
هامش الخطأ
E = 2,064·5,755·√(1/6 + 1/20) = 5,529
الإجابة
E = 5,529 kg
9.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: t = −3,1
اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).
الخطأ المعياري
SE = 20/√16 = 20/4 = 5
إحصائية الاختبار
t = (104,5 − 120)/5 = −3,1
الإجابة
t = −3,1
t0,025; df = 15 = 2,131
|t| > 2,131، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
10.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة
الإجابة: z = 1,571
Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.
نسبتا العينتين
p̂₁ = 130/200 = 0,65
p̂₂ = 174/300 = 0,58
p̂ = 304/500 = 0,608
الخطأ المعياري وفق H₀
SE = √(0,608·0,392·(1/200 + 1/300)) = 0,04457
إحصائية الاختبار
z = (0,65 − 0,58)/0,04457 = 1,571
الإجابة
z = 1,571
|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).
11.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: r = −0,9646
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المجاميع الممركَزة
Sxy = 338 − 15·119/5 = −19
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 2871 − 119²/5 = 38,8
معامل الارتباط
r = −19/√(10·38,8) = −0,9646
الإجابة
r = −0,9646
12.الانحدار الخطي والارتباط
الإجابة: x = 3,558
انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.
المتوسطات
x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 238/5 = 47,6
مجاميع المربعات والضروب
Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 43
خط الانحدار
b = 43/10 = 4,3
a = 47,6 − 4,3·3 = 34,7
ŷ = 34,7 + 4,3·x
حلّ لإيجاد x
x = (50 − 34,7)/4,3 = 3,558
الإجابة
x = 3,558
ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-1