الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 6 منها 235,6 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 6> 235,6 g

P =

2.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أطوال الرجال البالغين توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 95% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 178 cmσ = 7 cm95%

x = cm

3.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 9 مفردة متوسطها 98,5 وانحرافها المعياري s = 3. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 9x̄ = 98,5s = 399%t(8) = 3,355

الحد الأدنى =

4.فترات الثقةصعبة

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,01 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0195%

n =

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 16 طالبًا متوسط درجاتها 55,25 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 50.

μ₀ = 50x̄ = 55,25s = 10n = 16

t =

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

عينة من 64 قياسًا متوسطها 117,2. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 117,2σ = 12n = 6490%

L =

7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6

r =

8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 11؟

n = 6ŷ = 11

x =

9.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 3

χ² =

10.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 6 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 6

df =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,9332

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 240 g, σ_T = 1,2·√6 = 2,939 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (235,6 − 240)/2,939 = −1,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1,5) = 0,9332

الإجابة

P = 0,9332

2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 166,5 cm

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,05

z من الجدول

z ≈ −1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 178 − 1,64·7 = 166,5 cm

الإجابة

x = 166,5 cm

3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 95,14

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 8, t = 3,355

هامش الخطأ

E = 3,355·3/√9 = 3,355

الفترة

98,5 ± 3,355 → [95,14, 101,9]

الإجابة

الحد الأدنى = 95,14

4.فترات الثقة

الإجابة: n = 9604

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,5·0,5/0,01² = 9604

قرّب إلى الأعلى

n = 9604

الإجابة

n = 9604

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√16 = 10/4 = 2,5

إحصائية الاختبار

t = (55,25 − 50)/2,5 = 2,1

الإجابة

t = 2,1

t_{0,025; df = 15} = 2,131

|t| < 2.131، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 114,7

هامش الخطأ

E = 1,645·12/√64 = 2,468

حد الفترة

L = 117,2 − 2,468 = 114,7

الإجابة

L = 114,7

7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9159

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 27/6 = 4,5

ȳ = 262/6 = 43,67

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 17,5

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 53

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 191,3

معامل الارتباط

r = 53/√(17,5·191,3) = 0,9159

الإجابة

r = 0,9159

8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 7,496

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7

ȳ = 62/6 = 10,33

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 70

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 94

خط الانحدار

b = 94/70 = 1,343

a = 10,33 − 1,343·7 = 0,9333

ŷ = 0,9333 + 1,343·x

حلّ لإيجاد x

x = (11 − 0,9333)/1,343 = 7,496

الإجابة

x = 7,496

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 7,486

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 80·42/140 = 24, 80·42/140 = 24, 80·56/140 = 32

الموظفون: 60·42/140 = 18, 60·42/140 = 18, 60·56/140 = 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (23 − 24)²/24 + (31 − 24)²/24 + (26 − 32)²/32 + (19 − 18)²/18 + (11 − 18)²/18 + (30 − 24)²/24

χ² = 7,486

الإجابة

χ² = 7,486

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 5

درجات الحرية

df = 6 − 1 = 5

الإجابة

df = 5

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference