الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
150 kg149,4 kgT = X₁ + … + X₆?

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 6 منها عن 149,4 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 6< 149.4 kg
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
380420460500540580620hالأعلى 80%

تتوزع أعمار البطاريات توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 80% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 500 hσ = 40 h80%
x = h
3.فترات الثقةمتوسطة
μ₁ − μ₂0L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

يُقارَن عمر البطارية لطرازين من الهواتف. الطراز 1: 40 هاتفًا، المتوسط 119 h، الانحراف المعياري المعلوم 9 h. الطراز 2: 50 هاتفًا، المتوسط 114 h، الانحراف المعياري المعلوم 4 h. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 40x̄₁ = 119 hσ₁ = 9 hn₂ = 50x̄₂ = 114 hσ₂ = 4 h95%
الحد الأدنى = h
4.فترات الثقةصعبة
μ₁ − μ₂, t(29) = 2,0450L = ?Ux̄₁ − x̄₂E95%

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 15 قطعة، متوسط المحصول 90,5 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 16 قطعة، المتوسط 81,5 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 15x̄₁ = 90,5s₁ = 3n₂ = 16x̄₂ = 81,5s₂ = 7,595%t(29) = 2,045
الحد الأدنى = kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−2,1792,179t = ?df = 12

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 20، الانحراف المعياري 3,5. المجموعة 2: 7 طالبًا، متوسط الدرجة 15,3، الانحراف المعياري 12. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 7x̄₁ = 20s₁ = 3,5n₂ = 7x̄₂ = 15,3s₂ = 12
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −1,9601,96

عينة من 81 قياسًا متوسطها 200,4. الانحراف المعياري للمجتمع 8. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 95% للمتوسط.

x̄ = 200,4σ = 8n = 8195%
L =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy1574178719107211122312225131xy15202580100120

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy123218320414513611xy2461520x = 5,5

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 5,5.

n = 6x = 5,5
ŷ =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
الحافلةالدراجةالسيارةالمجموعالطلاب9414292الموظفون214243106المجموع308385198

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الموظفون، السيارة».

مجموع الصف = 106مجموع العمود = 85N = 198
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 5
df =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3121

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μT = 150 kg, σT = 0,5·√6 = 1,225 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (149,4 − 150)/1,225 = −0,49

الاحتمال

P = Φ(−0,49) = 0,3121

الإجابة

P = 0,3121
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 466 h

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,2

z من الجدول

z ≈ −0,84

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 500 − 0,84·40 = 466 h

الإجابة

x = 466 h
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 1,999 h

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

التقدير النقطي

x̄₁ − x̄₂ = 119 − 114 = 5

الخطأ المعياري

SE = √(9²/40 + 4²/50) = 1,531

هامش الخطأ

E = 1,96·1,531 = 3,001

الفترة

5 ± 3,001 → [1,999, 8,001]

الإجابة

الحد الأدنى = 1,999 h

الفترة لا تحتوي على 0، لذا يختلف المتوسطان اختلافًا دالًّا إحصائيًا.

4.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 4,75 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

sp² = (14·3² + 15·7,5²)/29 = 33,44
sp = 5,783

هامش الخطأ

E = 2,045·5,783·√(1/15 + 1/16) = 4,25

الفترة

9 ± 4,25 → [4,75, 13,25]

الإجابة

الحد الأدنى = 4,75 kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 0,9948

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

sp² = (6·3,5² + 6·12²)/12 = 78,13
sp = 8,839

الخطأ المعياري

SE = 8,839·√(1/7 + 1/7) = 4,725

إحصائية الاختبار

t = (20 − 15,3)/4,725 = 0,9948

الإجابة

t = 0,9948

مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 198,7

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,96·8/√81 = 1,742

حد الفترة

L = 200,4 − 1,742 = 198,7

الإجابة

L = 198,7
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9841

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 120/6 = 20
ȳ = 633/6 = 105,5

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 395
Syy = Σ(y − ȳ)² = 2302

معامل الارتباط

r = 395/√(70·2302) = 0,9841

الإجابة

r = 0,9841
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 11,87

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 99/6 = 16,5

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −40,5

خط الانحدار

b = −40,5/17,5 = −2,314
a = 16,5 − (−2,314)·3,5 = 24,6
ŷ = 24,6 − 2,314·x

التنبؤ

ŷ = 24,6 + (−2,314)·5,5 = 11,87

الإجابة

ŷ = 11,87
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 45,51

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 106·85/198 = 45,51

الإجابة

E = 45,51
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 3

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 5 − 1 − 1 = 3

الإجابة

df = 3

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference