الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
70,75112P = ?

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. ما النسبة التي تقع بين 70,75 و 112 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 100σ = 15x1 = 70,75x2 = 112
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 65x = ?75%

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 65σ = 10P = 75%
x = درجة
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 10, s = 18,5LUx̄ = 37,5E = ?95%

عينة من 10 مفردة متوسطها 37,5 وانحرافها المعياري s = 18,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 10x̄ = 37,5s = 18,595%t(9) = 2,262
E =
4.فترات الثقةصعبة
σ = 23, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,590%

الانحراف المعياري للمجتمع 23. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟

σ = 23E = 1,590%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−1,02p = ?

يُزعم أن متوسط مجتمع ما 120؛ والانحراف المعياري للمجتمع معلوم ويساوي 32. متوسط عينة عشوائية من 64 مشاهدة هو 115,92. اختبر H₀: μ = 120 مقابل H₁: μ < 120. أوجد القيمة الاحتمالية p.

μ₀ = 120σ = 32n = 64x̄ = 115,92H₁: μ < μ₀
p =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
σ = 12, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 190%

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 90% للمتوسط 1 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 12. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 12E = 190%
n =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy22466118101016xy51051015

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy126222318419515xy24152025ŷ = 21

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 21؟

n = 5ŷ = 21
x =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
الحافلةالدراجةالسيارةالمجموعالطلاب12301557الموظفون40202080المجموع525035137

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الدراجة».

مجموع الصف = 57مجموع العمود = 50N = 137
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 5 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7626

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (70,75 − 100)/15 = −1,95
z₂ = (112 − 100)/15 = 0,8

المساحة بين القيمتين

P = Φ(0,8) − Φ(−1,95) = 0,7881 − 0,02559 = 0,7626

الإجابة

P = 0,7626
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 71,75 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 65 + 0,6745·10 = 71,75 درجة

الإجابة

x = 71,75 درجة
3.فترات الثقة

الإجابة: E = 13,23

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 2,262

هامش الخطأ

E = 2,262·18,5/√10 = 13,23

الإجابة

E = 13,23
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 637

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·23/1,5)² = 636,2

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 637

الإجابة

n = 637
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: p = 0,1539

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

إحصائية الاختبار

SE = σ/√n = 32/√64 = 4
z = (115,92 − 120)/4 = −1,02

مساحة الذيل

Φ(1,02) = 0,8461
1 − Φ(1,02) = 0,1539

القيمة الاحتمالية

p = 0,1539

الإجابة

p = 0,1539

p > 0,05، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5%.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 390

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (1,645·12/1)² = 389,7

قرّب إلى الأعلى

n = 390

الإجابة

n = 390
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9562

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6
ȳ = 45/5 = 9

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 40
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 64
Syy = Σ(y − ȳ)² = 112

معامل الارتباط

r = 64/√(40·112) = 0,9562

الإجابة

r = 0,9562
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 2,6

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 100/5 = 20

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −25

خط الانحدار

b = −25/10 = −2,5
a = 20 − (−2,5)·3 = 27,5
ŷ = 27,5 − 2,5·x

حلّ لإيجاد x

x = (21 − 27,5)/(−2,5) = 2,6

الإجابة

x = 2,6
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 20,8

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 57·50/137 = 20,8

الإجابة

E = 20,8
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²crit = 7,815

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 5 − 1 − 1 = 3

الجدول

χ²crit(df = 3, α = 0,05) = 7,815

الإجابة

χ²crit = 7,815

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference