الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
−3−2−10123zالمساحة المظللة بين −z وz = 0,2812

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,2812. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,2812
z =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
35455565758595درجةالأسفل 5%

تتوزع درجات الامتحان توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأدنى 5% على يساره. أوجد حد القطع x.

μ = 65 درجةσ = 10 درجة5%
x = درجة
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 25, s = 8,5LU = ?x̄ = 100E95%

عينة من 25 مفردة متوسطها 100 وانحرافها المعياري s = 8,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 25x̄ = 100s = 8,595%t(24) = 2,064
الحد الأعلى =
4.فترات الثقةصعبة
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0490%

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0490%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,0302,03

عينة من 36 طالبًا متوسط درجاتها 115,9 وانحرافها المعياري 8. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 115,9s = 8n = 36
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
σ = 20, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 1,599%

ما حجم العينة اللازم كي يكون هامش الخطأ لفترة الثقة 99% للمتوسط 1,5 على الأكثر؟ الانحراف المعياري 20. أوجد أصغر حجم عينة n.

σ = 20E = 1,599%
n =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy125230333433534xy24253035

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 15Σy = 155Σx² = 55Σy² = 4859Σxy = 486
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy125227325423520xy242025x = 3,5

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (3,5, 21). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(3,5, 21)
e =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
سعاللا سعالالمجموعالمدخّنون362460غير المدخّنين5248100المجموع8872160

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1602 × 2
χ² =
10.اختبارات مربع كايصعبة
نعملاالمجموعخط الإنتاج 1522880خط الإنتاج 2231740خط الإنتاج 3453580المجموع12080200dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2003 × 2α = 0,05
χ² =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 0,36

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,2812)/2 = 0,6406

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,6406 داخل الجدول واقرأ z.

z = 0,36

الإجابة

z = 0,36
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 48,6 درجة

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,05

z من الجدول

z ≈ −1,64

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 65 − 1,64·10 = 48,6 درجة

الإجابة

x = 48,6 درجة
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 103,5

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 24, t = 2,064

هامش الخطأ

E = 2,064·8,5/√25 = 3,509

الفترة

100 ± 3,509 → [96,49, 103,5]

الإجابة

الحد الأعلى = 103,5
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

قرّب إلى الأعلى

n = 423

الإجابة

n = 423
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −3,075

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 8/√36 = 8/6 = 1,333

إحصائية الاختبار

t = (115,9 − 120)/1,333 = −3,075

الإجابة

t = −3,075
t0,025; df = 35 = 2,03

|t| > 2,03، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 1180

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·20/1,5)² = 1180

قرّب إلى الأعلى

n = 1180

الإجابة

n = 1180
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9037

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 486 − 15·155/5 = 21
Sxx = 55 − 15²/5 = 10
Syy = 4859 − 155²/5 = 54

معامل الارتباط

r = 21/√(10·54) = 0,9037

الإجابة

r = 0,9037
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −2,3

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 120/5 = 24

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −14

خط الانحدار

b = −14/10 = −1,4
a = 24 − (−1,4)·3 = 28,2
ŷ = 28,2 − 1,4·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 28,2 + (−1,4)·3,5 = 23,3

البُواقي

e = 21 − 23,3 = −2,3

الإجابة

e = −2,3

تقع النقطة تحت الخط.

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 0,9697

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 60·88/160 = 33, 60·72/160 = 27
غير المدخّنين: 100·88/160 = 55, 100·72/160 = 45

إحصاءة مربع كاي

χ² = (36 − 33)²/33 + (24 − 27)²/27 + (52 − 55)²/55 + (48 − 45)²/45
χ² = 0,9697

الإجابة

χ² = 0,9697

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,406

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 48, 32
خط الإنتاج 2: 24, 16
خط الإنتاج 3: 48, 32

إحصاءة مربع كاي

χ² = (52 − 48)²/48 + (28 − 32)²/32 + (23 − 24)²/24 + (17 − 16)²/16 + (45 − 48)²/48 + (35 − 32)²/32
χ² = 1,406

القرار

df = 2, χ²crit = 5,991
1,406 < 5,991

الإجابة

χ² = 1,406

χ² أقل من القيمة الحرجة، لذا لا تُرفض H₀: لا يوجد دليل دالّ على وجود علاقة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference