الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
105 s114,6 sX + Y?

X طبيعي بمتوسط 60 s وانحراف معياري 5 s؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 45 s وانحراف معياري 4 s. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 114,6 s. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μX = 60, σX = 5μY = 45, σY = 4X + Y > 114,6 s
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 100x = ?20%

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 20% منها (المئين 20).

μ = 100σ = 15P = 20%
x = درجة
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 30, s = 1,5LUx̄ = 106E = ?95%

عينة من 30 مفردة متوسطها 106 وانحرافها المعياري s = 1,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 95% للمتوسط.

n = 30x̄ = 106s = 1,595%t(29) = 2,045
E =
4.فترات الثقةصعبة
p ≈ 0,1, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0295%

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,1 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 95% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p ≈ 0,1E = 0,0295%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−2,1312,131t = ?df = 15

يجري 16 موظفًا اختبار طباعة قبل دورة تدريبية وبعدها. لكل شخص يُسجَّل الفرق d = بعد − قبل (كلمة في الدقيقة). متوسط الفروق −1,15 والانحراف المعياري للفروق 2. أوجد إحصائية الاختبار المزدوج t للفرضية H₀: μd = 0.

n = 16d̄ = −1,15sd = 2
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
μ₀x̄c

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ < 500 عند α = 0.05 بعينة من 36؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 12. في الواقع المتوسط 497. أوجد احتمال الخطأ من النوع الثاني β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 497σ = 12n = 36α = 0,05
β = %
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy239349455556664758xy246405060

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 27Σy = 321Σx² = 139Σy² = 17543Σxy = 1515
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy1483535587729761185xy5106080x = 6

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (6, 61). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 6(6, 61)
e =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
منخفضمتوسطمرتفعالمجموعحضري12121640ريفي18303280المجموع304248120

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1202 × 3
χ² =
10.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 10 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). كم درجة حرية df للاختبار؟

k = 10
df =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,06681

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 105 s, σ = √(5² + 4²) = 6,403 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (114,6 − 105)/6,403 = 1,5

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(1,5) = 1 − 0,9332 = 0,06681

الإجابة

P = 0,06681
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 87,38 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,2 → z = −0,8416

العودة إلى x

x = 100 + −0,8416·15 = 87,38 درجة

الإجابة

x = 87,38 درجة
3.فترات الثقة

الإجابة: E = 0,56

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 29, t = 2,045

هامش الخطأ

E = 2,045·1,5/√30 = 0,56

الإجابة

E = 0,56
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 865

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,96²·0,1·0,9/0,02² = 864,4

قرّب إلى الأعلى

n = 865

الإجابة

n = 865
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,3

Testing a mean: the test statistic measures how many standard errors the sample mean lies from the value claimed in H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) when σ is known, t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) when it is estimated from the sample. A confidence interval is x̄ ± (critical value)·(standard error).

الخطأ المعياري لمتوسط الفروق

SE = 2/√16 = 0,5

إحصائية الاختبار

t = −1,15/0,5 = −2,3

الإجابة

t = −2,3

مع df = 15، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,131؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: β = 55,76 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 12/√36 = 2
x̄c = 500 − 1,645·2 = 496,7

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (496,7 − 497)/2 = −0,145

الخطأ من النوع الثاني

القوة = P(Z < −0.145) = 44.24%
β = 100% − 44,24% = 55,76%

الإجابة

β = 55,76%
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,8767

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 1515 − 27·321/6 = 70,5
Sxx = 139 − 27²/6 = 17,5
Syy = 17543 − 321²/6 = 369,5

معامل الارتباط

r = 70,5/√(17,5·369,5) = 0,8767

الإجابة

r = 0,8767
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,333

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 36/6 = 6
ȳ = 392/6 = 65,33

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 268

خط الانحدار

b = 268/70 = 3,829
a = 65,33 − 3,829·6 = 42,36
ŷ = 42,36 + 3,829·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 42,36 + 3,829·6 = 65,33

البُواقي

e = 61 − 65,33 = −4,333

الإجابة

e = −4,333

تقع النقطة تحت الخط.

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 1,029

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

حضري: 40·30/120 = 10, 40·42/120 = 14, 40·48/120 = 16
ريفي: 80·30/120 = 20, 80·42/120 = 28, 80·48/120 = 32

إحصاءة مربع كاي

χ² = (12 − 10)²/10 + (12 − 14)²/14 + (16 − 16)²/16 + (18 − 20)²/20 + (30 − 28)²/28 + (32 − 32)²/32
χ² = 1,029

الإجابة

χ² = 1,029

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: df = 9

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 10 − 1 = 9

الإجابة

df = 9

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference