الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
160 g158,8 gT = X₁ + … + X₄?

كتل المسامير الملولبة مستقلة وطبيعية بمتوسط 40 g وانحراف معياري 1,2 g. أوجد الاحتمال P بأن تقل الكتلة الكلية لـ 4 منها عن 158,8 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 40 gσ = 1,2 gn = 4< 158.8 g
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
10 cm0X − Y?

أطوال الرجال X وأطوال النساء Y في مجموعة مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 180 cm وانحراف معياري 10 cm، ولـ Y متوسط 170 cm وانحراف معياري 12 cm. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μX = 180 cm, σX = 10 cmμY = 170 cm, σY = 12 cm
P =
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 8, s = 19LU = ?x̄ = 84,5E99%

عينة من 8 مفردة متوسطها 84,5 وانحرافها المعياري s = 19. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 8x̄ = 84,5s = 1999%t(7) = 3,499
الحد الأعلى =
4.فترات الثقةصعبة
μ₁ − μ₂, t(20) = 2,8450LU = ?x̄₁ − x̄₂E99%

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 5 قطعة، متوسط المحصول 46 kg، الانحراف المعياري 9 kg. مجموعة القطع 2: 17 قطعة، المتوسط 48 kg، الانحراف المعياري 8,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 5x̄₁ = 46s₁ = 9n₂ = 17x̄₂ = 48s₂ = 8,599%t(20) = 2,845
الحد الأعلى = kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −1,9901,99

عينة من 81 طالبًا متوسط درجاتها 204,7 وانحرافها المعياري 20. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 200.

μ₀ = 200x̄ = 204,7s = 20n = 81
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −1,64501,645

عينة من 49 قياسًا متوسطها 199,9. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 199,9σ = 4n = 4990%
U =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy3555647689831194xy5106080

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 35Σy = 364Σx² = 285Σy² = 27470Σxy = 2742
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy124221322421520xy24202224x = 1,5

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. تنبّأ بـ ŷ عند x = 1,5.

n = 5x = 1,5
ŷ =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
سعاللا سعالالمجموعالمدخّنون295180غير المدخّنين134760المجموع4298140

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1402 × 2
χ² =
10.اختبارات مربع كايصعبة
نجاحرسوبالمجموعالمصنع A233760المصنع B611980المصنع C6040100المجموع14496240dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,05 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 2403 × 2α = 0,05
χ² =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,3085

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μT = 160 g, σT = 1,2·√4 = 2,4 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (158,8 − 160)/2,4 = −0,5

الاحتمال

P = Φ(−0,5) = 0,3085

الإجابة

P = 0,3085
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7389

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 180 − 170 = 10 cm, σ = 15,62 cm

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 10)/15,62 = −0,64

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,64) = 0,7389

الإجابة

P = 0,7389
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 108

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 7, t = 3,499

هامش الخطأ

E = 3,499·19/√8 = 23,5

الفترة

84,5 ± 23,5 → [61, 108]

الإجابة

الحد الأعلى = 108
4.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 10,45 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

sp² = (4·9² + 16·8,5²)/20 = 74
sp = 8,602

هامش الخطأ

E = 2,845·8,602·√(1/5 + 1/17) = 12,45

الفترة

−2 ± 12,45 → [−14,45, 10,45]

الإجابة

الحد الأعلى = 10,45 kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,115

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 20/√81 = 20/9 = 2,222

إحصائية الاختبار

t = (204,7 − 200)/2,222 = 2,115

الإجابة

t = 2,115
t0,025; df = 80 = 1,99

|t| > 1,99، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 200,8

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·4/√49 = 0,94

حد الفترة

U = 199,9 + 0,94 = 200,8

الإجابة

U = 200,8
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9845

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 2742 − 35·364/5 = 194
Sxx = 285 − 35²/5 = 40
Syy = 27470 − 364²/5 = 970,8

معامل الارتباط

r = 194/√(40·970,8) = 0,9845

الإجابة

r = 0,9845
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: ŷ = 22,8

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 108/5 = 21,6

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −8

خط الانحدار

b = −8/10 = −0,8
a = 21,6 − (−0,8)·3 = 24
ŷ = 24 − 0,8·x

التنبؤ

ŷ = 24 + (−0,8)·1,5 = 22,8

الإجابة

ŷ = 22,8
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 3,472

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 80·42/140 = 24, 80·98/140 = 56
غير المدخّنين: 60·42/140 = 18, 60·98/140 = 42

إحصاءة مربع كاي

χ² = (29 − 24)²/24 + (51 − 56)²/56 + (13 − 18)²/18 + (47 − 42)²/42
χ² = 3,472

الإجابة

χ² = 3,472

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) غير مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 20,54

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المصنع A: 36, 24
المصنع B: 48, 32
المصنع C: 60, 40

إحصاءة مربع كاي

χ² = (23 − 36)²/36 + (37 − 24)²/24 + (61 − 48)²/48 + (19 − 32)²/32 + (60 − 60)²/60 + (40 − 40)²/40
χ² = 20,54

القرار

df = 2, χ²crit = 5,991
20,54 > 5,991

الإجابة

χ² = 20,54

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference