الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 769,7 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ_X = 250, σ_X = 4μ_Y = 500, σ_Y = 9X + Y > 769,7 g

P =

2.التوزيع الطبيعيصعبة

تتوزع أوزان الأكياس توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 250 g وانحراف معياري 5 g. اسحب حد القطع بحيث تقع المساحة المظللة للأعلى 70% على يمينه. أوجد حد القطع x.

μ = 250 gσ = 5 g70%

x = g

3.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 6 مفردة متوسطها 62,5 وانحرافها المعياري s = 11,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 6x̄ = 62,5s = 11,599%t(5) = 4,032

الحد الأدنى =

4.فترات الثقةصعبة

تشير دراسة استطلاعية إلى أن نحو 0,4 من المنتجات معيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,025 على الأكثر؟

p ≈ 0,4E = 0,02599%

n =

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 83,7 وانحرافها المعياري 15. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 83,7s = 15n = 25

t =

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 500 مقابل H₁: μ > 500 عند α = 0,05 بعينة من 64؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 4. في الواقع المتوسط 501,05. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 500μ = 501,05σ = 4n = 64α = 0,05

1 − β = %

7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (1,5, 27). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(1,5, 27)

e =

9.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «ريفي، منخفض».

مجموع الصف = 44مجموع العمود = 41N = 102

E =

10.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05

χ²_crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,02275

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (769,7 − 750)/9,849 = 2

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(2) = 1 − 0,9772 = 0,02275

الإجابة

P = 0,02275

2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 247,4 g

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على اليسار

Φ(z) = 0,3

z من الجدول

z ≈ −0,52

العودة إلى الوحدات الأصلية

x = 250 − 0,52·5 = 247,4 g

الإجابة

x = 247,4 g

3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 43,57

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 5, t = 4,032

هامش الخطأ

E = 4,032·11,5/√6 = 18,93

الفترة

62,5 ± 18,93 → [43,57, 81,43]

الإجابة

الحد الأدنى = 43,57

4.فترات الثقة

الإجابة: n = 2549

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,4·0,6/0,025² = 2548

قرّب إلى الأعلى

n = 2549

الإجابة

n = 2549

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,9

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 15/√25 = 15/5 = 3

إحصائية الاختبار

t = (83,7 − 75)/3 = 2,9

الإجابة

t = 2,9

t_{0,025; df = 24} = 2,064

|t| > 2,064، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 67,54 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 4/√64 = 0,5

x̄_c = 500 + 1,645·0,5 = 500,8

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (500,8 − 501,05)/0,5 = −0,455

القدرة

القوة = P(Z > −0,455) = 67,54%

1 − β = 67,54%

الإجابة

1 − β = 67,54%

7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9783

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 30/5 = 6

ȳ = 401/5 = 80,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 172

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 772,8

معامل الارتباط

r = 172/√(40·772,8) = 0,9783

الإجابة

r = 0,9783

8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = 4,95

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 96/5 = 19,2

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −19

خط الانحدار

b = −19/10 = −1,9

a = 19,2 − (−1,9)·3 = 24,9

ŷ = 24,9 − 1,9·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 24,9 + (−1,9)·1,5 = 22,05

البُواقي

e = 27 − 22,05 = 4,95

الإجابة

e = 4,95

تقع النقطة فوق الخط.

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 17,69

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 44·41/102 = 17,69

الإجابة

E = 17,69

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 15,51

درجات الحرية

df = 9 − 1 = 8

الجدول

χ²_crit(df = 8, α = 0,05) = 15,507

الإجابة

χ²_crit = 15,507

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference