الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
750 g757,9 gX + Y?

X طبيعي بمتوسط 250 g وانحراف معياري 4 g؛ وY مستقل وطبيعي بمتوسط 500 g وانحراف معياري 9 g. أوجد الاحتمال P بأن يزيد X + Y على 757,9 g. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μX = 250, σX = 4μY = 500, σY = 9X + Y > 757,9 g
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 100x = ?75%

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 75% منها (المئين 75).

μ = 100σ = 15P = 75%
x = درجة
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 11, sd​ = 1,70LUd̄ = 9,2E = ?99%

يُقاس ضغط الدم لـ 11 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 9,2 وانحرافها المعياري 1,7. أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% لمتوسط الفروق.

n = 11d̄ = 9,2sd = 1,799%t(10) = 3,169
E = mmHg
4.فترات الثقةصعبة
σ = 32, n = ?x̄ − Ex̄ + Ex̄E = 599%

الانحراف المعياري للمجتمع 32. ما حجم العينة n اللازم ليكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للمتوسط 5 على الأكثر؟

σ = 32E = 599%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−2,0452,045t = ?df = 29

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 18 طالبًا، متوسط الدرجة 75,5، الانحراف المعياري 12. المجموعة 2: 13 طالبًا، متوسط الدرجة 62,6، الانحراف المعياري 9,5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 18x̄₁ = 75,5s₁ = 12n₂ = 13x̄₂ = 62,6s₂ = 9,5
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 5α = 0,01βσ = 18, القوة 90%, n = ?

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 5 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 18. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 5σ = 18zα = 2,326zβ = 1,282
n =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy123219319417515610xy246101520

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 6
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy17752090231092612329139xy20253080100120140x = 21,5

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (21,5, 95). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(21,5, 95)
e =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
بلا عيبطفيفكبيرالمجموعالمناوبة النهارية34243492المناوبة الليلية3030868المجموع645442160

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة الليلية، بلا عيب».

مجموع الصف = 68مجموع العمود = 64N = 160
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 7 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,2119

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع

μ = 750 g, σ = √(4² + 9²) = 9,849 g

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (757,9 − 750)/9,849 = 0,8

الذيل العلوي

P = 1 − Φ(0,8) = 1 − 0,7881 = 0,2119

الإجابة

P = 0,2119
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 110,1 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,75 → z = 0,6745

العودة إلى x

x = 100 + 0,6745·15 = 110,12 درجة

الإجابة

x = 110,12 درجة
3.فترات الثقة

الإجابة: E = 1,624 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 10, t = 3,169

هامش الخطأ

E = 3,169·1,7/√11 = 1,624

الإجابة

E = 1,624 mmHg
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 272

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = (2,576·32/5)² = 271,8

قرّب إلى الأعلى

حجم العينة عدد صحيح، والتقريب إلى الأسفل يجعل الهامش أكبر من اللازم.

n = 272

الإجابة

n = 272
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 3,212

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

sp² = (17·12² + 12·9,5²)/29 = 121,8
sp = 11,03

الخطأ المعياري

SE = 11,03·√(1/18 + 1/13) = 4,016

إحصائية الاختبار

t = (75,5 − 62,6)/4,016 = 3,212

الإجابة

t = 3,212

مع df = 29، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,045؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 169

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·18/5)² = 168,7

قرّب إلى الأعلى

n = 169

الإجابة

n = 169
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = −0,9595

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 21/6 = 3,5
ȳ = 103/6 = 17,17

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 17,5
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −39,5
Syy = Σ(y − ȳ)² = 96,83

معامل الارتباط

r = −39,5/√(17,5·96,83) = −0,9595

الإجابة

r = −0,9595
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,15

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 115/5 = 23
ȳ = 536/5 = 107,2

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 483

خط الانحدار

b = 483/90 = 5,367
a = 107,2 − 5,367·23 = −16,23
ŷ = −16,23 + 5,367·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = −16,23 + 5,367·21,5 = 99,15

البُواقي

e = 95 − 99,15 = −4,15

الإجابة

e = −4,15

تقع النقطة تحت الخط.

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 27,2

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 68·64/160 = 27,2

الإجابة

E = 27,2
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²crit = 11,07

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 7 − 1 − 1 = 5

الجدول

χ²crit(df = 5, α = 0,05) = 11,070

الإجابة

χ²crit = 11,070

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference