الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
5775P = ?

درجات الامتحان موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 65 درجة وانحراف معياري 10 درجة. ما النسبة التي تقع بين 57 و 75 درجة؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 65σ = 10x1 = 57x2 = 75
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 100x = ?80%

درجات معدل الذكاء (IQ) موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 100 درجة وانحراف معياري 15 درجة. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 80% منها (المئين 80).

μ = 100σ = 15P = 80%
x = درجة
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 7, s = 12,5L = ?Ux̄ = 98E95%

عينة من 7 مفردة متوسطها 98 وانحرافها المعياري s = 12,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% للمتوسط.

n = 7x̄ = 98s = 12,595%t(6) = 2,447
الحد الأدنى =
4.فترات الثقةصعبة
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0490%

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 90% للنسبة 0,04 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0490%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−2,1792,179t = ?df = 12

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 5 طالبًا، متوسط الدرجة 65,5، الانحراف المعياري 7,5. المجموعة 2: 9 طالبًا، متوسط الدرجة 72,2، الانحراف المعياري 3. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 5x̄₁ = 65,5s₁ = 7,5n₂ = 9x̄₂ = 72,2s₂ = 3
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
H₀H₁μ₀x̄cμ₀ + 1α = 0,01βσ = 5, القوة 90%, n = ?

اختبار z أحادي الطرف عند α = 0,01 يجب أن يكشف انزياحًا في المتوسط مقداره 1 وحدة بقوة 90%. الانحراف المعياري 5. أوجد أصغر حجم عينة n.

α = 0,01القوة = 90%δ = 1σ = 5zα = 2,326zβ = 1,282
n =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy23476118171021xy5101020

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 30Σy = 59Σx² = 220Σy² = 909Σxy = 446
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy35956577098011881393xy5106080ŷ = 77

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 77؟

n = 6ŷ = 77
x =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
منخفضمتوسطمرتفعالمجموعحضري32262785ريفي10243872المجموع425065157

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «حضري، متوسط».

مجموع الصف = 85مجموع العمود = 50N = 157
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يُجرى اختبار مربع كاي للاستقلالية على جدول توافق فيه 3 صفوف و 6 أعمدة (دون احتساب المجاميع). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6295

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (57 − 65)/10 = −0,8
z₂ = (75 − 65)/10 = 1

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1) − Φ(−0,8) = 0,8413 − 0,2119 = 0,6295

الإجابة

P = 0,6295
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 112,6 درجة

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,8 → z = 0,8416

العودة إلى x

x = 100 + 0,8416·15 = 112,62 درجة

الإجابة

x = 112,62 درجة
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 86,44

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 6, t = 2,447

هامش الخطأ

E = 2,447·12,5/√7 = 11,56

الفترة

98 ± 11,56 → [86,44, 109,6]

الإجابة

الحد الأدنى = 86,44
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 423

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 1,645²·0,5·0,5/0,04² = 422,8

قرّب إلى الأعلى

n = 423

الإجابة

n = 423
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = −2,415

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

sp² = (4·7,5² + 8·3²)/12 = 24,75
sp = 4,975

الخطأ المعياري

SE = 4,975·√(1/5 + 1/9) = 2,775

إحصائية الاختبار

t = (65,5 − 72,2)/2,775 = −2,415

الإجابة

t = −2,415

مع df = 12، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,179؛ و|t| أكبر، لذا تُرفض H₀.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: n = 326

حجم العينة لاختبار: لكشف انزياح حقيقي δ بقوة 1 − β في اختبار z أحادي الطرف عند المستوى α، يجب أن يحقّق الخطأ المعياري δ = (z_α + z_β)·σ/√n، لذا n = ((z_α + z_β)·σ/δ)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

حُلّ لإيجاد n

n = ((2,326 + 1,282)·5/1)² = 325,4

قرّب إلى الأعلى

n = 326

الإجابة

n = 326
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9972

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 446 − 30·59/5 = 92
Sxx = 220 − 30²/5 = 40
Syy = 909 − 59²/5 = 212,8

معامل الارتباط

r = 92/√(40·212,8) = 0,9972

الإجابة

r = 0,9972
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 8,328

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 48/6 = 8
ȳ = 455/6 = 75,83

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 249

خط الانحدار

b = 249/70 = 3,557
a = 75,83 − 3,557·8 = 47,38
ŷ = 47,38 + 3,557·x

حلّ لإيجاد x

x = (77 − 47,38)/3,557 = 8,328

الإجابة

x = 8,328
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 27,07

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 85·50/157 = 27,07

الإجابة

E = 27,07
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²crit = 23,21

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = (3 − 1)·(6 − 1) = 10

الجدول

χ²crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

الإجابة

χ²crit = 23,209

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference