الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z: z = (x − μ)/σ
أقل من x: P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x: P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين: Φ(z₂) − Φ(z₁)
المئين: x = μ + z·σ

الطريقة

حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة: x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة: x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة: 90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة: n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط: t = (x̄ − μ₀)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%: ارفض H₀ إذا |z| > 1,96
فترة الثقة: x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات: S_xx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, S_xy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل: b = S_xy/S_xx
المقطع: a = ȳ − b·x̄
الارتباط: r = S_xy/√(S_xxS_yy)
البُواقي: e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار: χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة: E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية: E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05): df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار: ارفض H₀ إذا كان χ² > χ²_crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 16 منها 399 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 16> 399 kg

P =

2.التوزيع الطبيعيصعبة

أعمار البطاريات موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 500 h وانحراف معياري 40 h. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).

μ = 500σ = 40P = 25%

x = h

3.فترات الثقةمتوسطة

عينة من 12 مفردة متوسطها 41 وانحرافها المعياري s = 13,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 12x̄ = 41s = 13,599%t(11) = 3,106

الحد الأدنى =

4.فترات الثقةصعبة

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 10 قطعة، متوسط المحصول 30,5 kg، الانحراف المعياري 2,5 kg. مجموعة القطع 2: 11 قطعة، المتوسط 21 kg، الانحراف المعياري 6,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد الحد الأعلى لفترة الثقة 95% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 10x̄₁ = 30,5s₁ = 2,5n₂ = 11x̄₂ = 21s₂ = 6,595%t(19) = 2,093

الحد الأعلى = kg

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة

تُقارن طريقتا تدريس. المجموعة 1: 15 طالبًا، متوسط الدرجة 33,5، الانحراف المعياري 6. المجموعة 2: 16 طالبًا، متوسط الدرجة 30,7، الانحراف المعياري 5. افترض تساوي تبايني المجتمعين واستخدم اختبار t المجمَّع لعينتين. أوجد إحصائية الاختبار t للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (المجموعة 1 ناقص المجموعة 2).

n₁ = 15x̄₁ = 33,5s₁ = 6n₂ = 16x̄₂ = 30,7s₂ = 5

t =

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة

يُجرى اختبار z أحادي الطرف للفرضية H₀: μ = 50 مقابل H₁: μ < 50 عند α = 0.05 بعينة من 100؛ والانحراف المعياري معلوم ويساوي 20. في الواقع المتوسط 47.8. أوجد قوة الاختبار 1 − β بالنسبة المئوية.

μ₀ = 50μ = 47,8σ = 20n = 100α = 0,05

1 − β = %

7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. أوجد معامل ارتباط بيرسون r.

n = 5

r =

8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = ساعات الدراسة و y = درجة الامتحان. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. أُجريت مشاهدة جديدة (2, 41). أوجد باقيها e = y − ŷ.

n = 5(2, 41)

e =

9.اختبارات مربع كايمتوسطة

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 2

χ² =

10.اختبارات مربع كايصعبة

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 11 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²_crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01

χ²_crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,6915

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μ_X ± μ_Y. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σ_X² + σ_Y²، إذن σ = √(σ_X² + σ_Y²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μ_T = 400 kg, σ_T = 0,5·√16 = 2 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (399 − 400)/2 = −0,5

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,5) = 0,6915

الإجابة

P = 0,6915

2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 473 h

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

العودة إلى x

x = 500 + −0,6745·40 = 473,02 h

الإجابة

x = 473,02 h

3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 28,9

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 11, t = 3,106

هامش الخطأ

E = 3,106·13,5/√12 = 12,1

الفترة

41 ± 12,1 → [28,9, 53,1]

الإجابة

الحد الأدنى = 28,9

4.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأعلى = 14,09 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

s_p² = (9·2,5² + 10·6,5²)/19 = 25,2

s_p = 5,02

هامش الخطأ

E = 2,093·5,02·√(1/10 + 1/11) = 4,591

الفترة

9,5 ± 4,591 → [4,909, 14,09]

الإجابة

الحد الأعلى = 14,09 kg

5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,415

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

التباين المجمَّع

s_p² = (14·6² + 15·5²)/29 = 30,31

s_p = 5,505

الخطأ المعياري

SE = 5,505·√(1/15 + 1/16) = 1,979

إحصائية الاختبار

t = (33,5 − 30,7)/1,979 = 1,415

الإجابة

t = 1,415

مع df = 29، القيمة الحرجة ثنائية الطرف عند 5% هي 2,045؛ و|t| أصغر، لذا لا تُرفض H₀.

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: 1 − β = 29,29 %

قوة الاختبار: القوة = 1 − β هي احتمال رفض H₀ وهي خاطئة. أوجد الحد x̄c من μ₀ و z_α، ثم احسب احتمال الوقوع بعد x̄c باستخدام المتوسط الحقيقي: z = (x̄c − μ)/(σ/√n).

متوسط العينة الحرج

SE = 20/√100 = 2

x̄_c = 50 − 1,645·2 = 46,71

z وفق المتوسط الحقيقي

z = (46,71 − 47,8)/2 = −0,545

القدرة

القوة = P(Z < −0.545) = 29.29%

1 − β = 29,29%

الإجابة

1 − β = 29,29%

7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9502

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3

ȳ = 183/5 = 36,6

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 10

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 40

S_yy = Σ(y − ȳ)² = 177,2

معامل الارتباط

r = 40/√(10·177,2) = 0,9502

الإجابة

r = 0,9502

8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: e = −4,75

المتوسطات

x̄ = 25/5 = 5

ȳ = 312/5 = 62,4

مجاميع المربعات والضروب

S_xx = Σ(x − x̄)² = 40

S_xy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 222

خط الانحدار

b = 222/40 = 5,55

a = 62,4 − 5,55·5 = 34,65

ŷ = 34,65 + 5,55·x

القيمة المتنبَّأ بها

ŷ = 34,65 + 5,55·2 = 45,75

البُواقي

e = 41 − 45,75 = −4,75

الإجابة

e = −4,75

تقع النقطة تحت الخط.

9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 38,68

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

المدخّنون: 100·126/180 = 70, 100·54/180 = 30

غير المدخّنين: 80·126/180 = 56, 80·54/180 = 24

إحصاءة مربع كاي

χ² = (89 − 70)²/70 + (11 − 30)²/30 + (37 − 56)²/56 + (43 − 24)²/24

χ² = 38,68

الإجابة

χ² = 38,68

df = 1. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 3,841، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²_crit = 23,21

درجات الحرية

df = 11 − 1 = 10

الجدول

χ²_crit(df = 10, α = 0,01) = 23,209

الإجابة

χ²_crit = 23,209

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference