الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
−3−2−10123zالمساحة المظللة بين −z وz = 0,8324

اسحب z بحيث تكون المساحة المظللة بين −z وz تحت المنحنى الطبيعي القياسي مساوية 0,8324. أوجد z بمنزلتين عشريتين.

A = 0,8324
z =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
4 s0X − Y?

زمن لفة العدّاء A وهو X وزمن لفة العدّاء B وهو Y مستقلة وطبيعية: لـ X متوسط 52 s وانحراف معياري 4 s، ولـ Y متوسط 48 s وانحراف معياري 3 s. أوجد الاحتمال P بأن يكون X أكبر من Y. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μX = 52 s, σX = 4 sμY = 48 s, σY = 3 s
P =
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 11, s = 18,5LUx̄ = 19E = ?90%

عينة من 11 مفردة متوسطها 19 وانحرافها المعياري s = 18,5. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد هامش الخطأ E لفترة ثقة 90% للمتوسط.

n = 11x̄ = 19s = 18,590%t(10) = 1,812
E =
4.فترات الثقةصعبة
p = 0,5, n = ?p̂ − Ep̂ + Ep̂E = 0,0299%

لا يُعرف شيء مسبقًا عن نسبة المنتجات المعيبة. كم منتجًا n يجب فحصه كي يكون هامش الخطأ لفترة ثقة 99% للنسبة 0,02 على الأكثر؟

p = 0,5E = 0,0299%
n =
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,01102,011

عينة من 49 طالبًا متوسط درجاتها 78 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 75.

μ₀ = 75x̄ = 78s = 10n = 49
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −1,64501,645

عينة من 25 قياسًا متوسطها 502,6. الانحراف المعياري للمجتمع 5. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 502,6σ = 5n = 2590%
U =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy1572178819922110423124xy152080100120

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 5Σx = 95Σy = 480Σx² = 1845Σy² = 47584Σxy = 9360
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy14491753206023822682xy1520256080ŷ = 79

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = درجة الحرارة بالـ °C و y = المثلّجات المبيعة. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 79؟

n = 5ŷ = 79
x =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
بلا عيبطفيفكبيرالمجموعالمناوبة النهارية17251759المناوبة الليلية44221682المجموع614733141

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «المناوبة النهارية، بلا عيب».

مجموع الصف = 59مجموع العمود = 61N = 141
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة
نعملاالمجموعخط الإنتاج 1202040خط الإنتاج 253760خط الإنتاج 3471360المجموع12040160dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يبيّن الجدول التكرارات المشاهَدة. اختبر عند α = 0,01 ما إذا كان المتغيّران مستقلين (دون تصحيح الاستمرارية). احسب إحصاءة الاختبار χ²، ثم قارنها بالقيمة الحرجة من الجدول.

N = 1603 × 2α = 0,01
χ² =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: z = 1,38

من مساحة إلى z: Φ(z) هي المساحة على يسار z. لمساحة ذيل أيسر A، أوجد z التي تحقق Φ(z) = A في الجدول. ومساحة ذيل أيمن A تعني Φ(z) = 1 − A. ومساحة مركزية A بين −z وz تترك (1 − A)/2 في كل ذيل، إذن Φ(z) = (1 + A)/2. ولقيمة x استخدم x = μ + zσ.

المساحة على يسار z

Φ(z) = (1 + 0,8324)/2 = 0,9162

اقرأ جدول z بالعكس

ابحث عن 0,9162 داخل الجدول واقرأ z.

z = 1,38

الإجابة

z = 1,38
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,7881

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع الفرق

μ = 52 − 48 = 4 s, σ = 5 s

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (0 − 4)/5 = −0,8

الاحتمال

P = 1 − Φ(−0,8) = 0,7881

الإجابة

P = 0,7881
3.فترات الثقة

الإجابة: E = 10,11

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 10, t = 1,812

هامش الخطأ

E = 1,812·18,5/√11 = 10,11

الإجابة

E = 10,11
4.فترات الثقة

الإجابة: n = 4148

Confidence interval for a proportion: p̂ ± z·√(p̂(1 − p̂)/n), where p̂ = x/n. To reach a margin E you need n ≥ z²·p(1 − p)/E², rounded up; without a prior estimate use p = 0,5, which gives the largest n.

حُلّ لإيجاد n

n = 2,576²·0,5·0,5/0,02² = 4147

قرّب إلى الأعلى

n = 4148

الإجابة

n = 4148
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 2,1

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√49 = 10/7 = 1,429

إحصائية الاختبار

t = (78 − 75)/1,429 = 2,1

الإجابة

t = 2,1
t0,025; df = 48 = 2,011

|t| > 2,011، لذا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 504,2

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·5/√25 = 1,645

حد الفترة

U = 502,6 + 1,645 = 504,2

الإجابة

U = 504,2
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9785

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 9360 − 95·480/5 = 240
Sxx = 1845 − 95²/5 = 40
Syy = 47584 − 480²/5 = 1504

معامل الارتباط

r = 240/√(40·1504) = 0,9785

الإجابة

r = 0,9785
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 24,36

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 100/5 = 20
ȳ = 326/5 = 65,2

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 90
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 285

خط الانحدار

b = 285/90 = 3,167
a = 65,2 − 3,167·20 = 1,867
ŷ = 1,867 + 3,167·x

حلّ لإيجاد x

x = (79 − 1,867)/3,167 = 24,36

الإجابة

x = 24,36
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 25,52

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 59·61/141 = 25,52

الإجابة

E = 25,52
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 19,38

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

خط الإنتاج 1: 30, 10
خط الإنتاج 2: 45, 15
خط الإنتاج 3: 45, 15

إحصاءة مربع كاي

χ² = (20 − 30)²/30 + (20 − 10)²/10 + (53 − 45)²/45 + (7 − 15)²/15 + (47 − 45)²/45 + (13 − 15)²/15
χ² = 19,38

القرار

df = 2, χ²crit = 9,210
19,38 > 9,210

الإجابة

χ² = 19,38

χ² أكبر من القيمة الحرجة، لذا تُرفض H₀: يبدو أن المتغيّرين مرتبطان.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference