الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
225 kg223,5 kgT = X₁ + … + X₉?

كتل أكياس الإسمنت مستقلة وطبيعية بمتوسط 25 kg وانحراف معياري 0,5 kg. أوجد الاحتمال P بأن تتجاوز الكتلة الكلية لـ 9 منها 223,5 kg. قرّب z إلى منزلتين عشريتين.

μ = 25 kgσ = 0,5 kgn = 9> 223,5 kg
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 178x = ?10%

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 10% منها (المئين 10).

μ = 178σ = 7P = 10%
x = cm
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 6, sd​ = 1,50L = ?Ud̄ = 0,9E95%

يُقاس ضغط الدم لـ 6 مريضًا قبل علاج وبعده. الفروق d = قبل − بعد (mmHg) متوسطها 0,9 وانحرافها المعياري 1,5. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 95% لمتوسط الفروق.

n = 6d̄ = 0,9sd = 1,595%t(5) = 2,571
الحد الأدنى = mmHg
4.فترات الثقةصعبة
μ₁ − μ₂, t(14) = 2,9770LUx̄₁ − x̄₂E = ?99%

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 11 قطعة، متوسط المحصول 94 kg، الانحراف المعياري 3 kg. مجموعة القطع 2: 5 قطعة، المتوسط 88 kg، الانحراف المعياري 9,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 99% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 11x̄₁ = 94s₁ = 3n₂ = 5x̄₂ = 88s₂ = 9,599%t(14) = 2,977
E = kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
−1,961,96z = ?

خطّا إنتاج يصنعان الجزء نفسه. الخط 1: عينة من 60 جزءًا متوسط طولها 51,5 mm، والانحراف المعياري المعلوم للخط 5 mm. الخط 2: عينة من 30 جزءًا متوسطها 52,8 mm، والانحراف المعياري المعلوم 8 mm. أوجد إحصائية الاختبار z للفرضية H₀: μ₁ = μ₂، مع أخذ الفرق x̄₁ − x̄₂ (الخط 1 ناقص الخط 2).

n₁ = 60x̄₁ = 51,5 mmσ₁ = 5 mmn₂ = 30x̄₂ = 52,8 mmσ₂ = 8 mm
z =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −1,64501,645

عينة من 16 قياسًا متوسطها 119,6. الانحراف المعياري للمجتمع 4. أوجد الحد الأدنى L لفترة الثقة 90% للمتوسط.

x̄ = 119,6σ = 4n = 1690%
L =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy23443864284010471250xy51035404550

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. مجاميعها معطاة. أوجد معامل ارتباط بيرسون r من هذه المجاميع.

n = 6Σx = 42Σy = 251Σx² = 364Σy² = 10673Σxy = 1862
r =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy142242347446553xy244550ŷ = 50

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = الإنفاق على الإعلان بالـ k€ و y = المبيعات بالـ k€. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 50؟

n = 5ŷ = 50
x =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
الحافلةالدراجةالسيارةالمجموعالطلاب24383193الموظفون22103769المجموع464868162

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. لاختبار مربع كاي للاستقلالية، أوجد التكرار المتوقَّع E للخلية «الطلاب، الدراجة».

مجموع الصف = 93مجموع العمود = 48N = 162
E =
10.اختبارات مربع كايصعبة
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يتحقّق اختبار مربع كاي لجودة المطابقة مما إذا كانت التكرارات في 9 فئات تتبع توزيع بواسون يُقدَّر متوسطه من البيانات نفسها. باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,05.

α = 0,05
χ²crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,8413

مجاميع المتغيرات الطبيعية وفروقها: إذا كان X وY مستقلين وطبيعيين فإن X + Y وX − Y طبيعيان أيضًا. تُجمع المتوسطات أو تُطرح: E(X ± Y) = μX ± μY. أما التباينات فدائمًا تُجمع، حتى في الفرق: Var(X ± Y) = σX² + σY²، إذن σ = √(σX² + σY²). ولا تُجمع الانحرافات المعيارية مباشرةً أبدًا. مجموع n عنصرًا مستقلًا لها التوزيع نفسه متوسطه n·μ وانحرافه المعياري σ·√n. ثم عيّر كالمعتاد: z = (x − المتوسط)/σ واقرأ Φ(z).

توزيع المجموع الكلي

μT = 225 kg, σT = 0,5·√9 = 1,5 kg

حوّل إلى الصيغة المعيارية

z = (223,5 − 225)/1,5 = −1

الاحتمال

P = 1 − Φ(−1) = 0,8413

الإجابة

P = 0,8413
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 169 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,1 → z = −1,282

العودة إلى x

x = 178 + −1,282·7 = 169,03 cm

الإجابة

x = 169,03 cm
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = −0,6744 mmHg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

القيمة الحرجة

df = 5, t = 2,571

هامش الخطأ

E = 2,571·1,5/√6 = 1,574

الفترة

0,9 ± 1,574 → [−0,6744, 2,474]

الإجابة

الحد الأدنى = −0,6744 mmHg
4.فترات الثقة

الإجابة: E = 9,113 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

sp² = (10·3² + 4·9,5²)/14 = 32,21
sp = 5,676

هامش الخطأ

E = 2,977·5,676·√(1/11 + 1/5) = 9,113

الإجابة

E = 9,113 kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: z = −0,8141

Hypothesis test: the test statistic = (estimate − value under H₀)/(standard error under H₀). The p-value is the probability, assuming H₀ is true, of a statistic at least as extreme as the one observed: the area in one tail for a one-sided H₁, twice the tail area for a two-sided H₁. Reject H₀ when p ≤ α.

الخطأ المعياري للفرق

SE = √(5²/60 + 8²/30) = √2,55 = 1,597

إحصائية الاختبار

z = (51,5 − 52,8)/1,597 = −0,8141

الإجابة

z = −0,8141

|z| < 1.96، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: L = 118

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 1,645·4/√16 = 1,645

حد الفترة

L = 119,6 − 1,645 = 118

الإجابة

L = 118
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r = 0,9546

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المجاميع الممركَزة

Sxy = 1862 − 42·251/6 = 105
Sxx = 364 − 42²/6 = 70
Syy = 10673 − 251²/6 = 172,8

معامل الارتباط

r = 105/√(70·172,8) = 0,9546

الإجابة

r = 0,9546
8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 4,538

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 230/5 = 46

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 26

خط الانحدار

b = 26/10 = 2,6
a = 46 − 2,6·3 = 38,2
ŷ = 38,2 + 2,6·x

حلّ لإيجاد x

x = (50 − 38,2)/2,6 = 4,538

الإجابة

x = 4,538
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: E = 27,56

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرار المتوقَّع

E = 93·48/162 = 27,56

الإجابة

E = 27,56
10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²crit = 14,07

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 9 − 1 − 1 = 7

الجدول

χ²crit(df = 7, α = 0,05) = 14,067

الإجابة

χ²crit = 14,067

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference