الإحصاء 2: الاستدلال الإحصائي: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

التوزيع الطبيعي

الدرجة المعيارية z
z = (x − μ)/σ
أقل من x
P(X < x) = Φ(z)
أكبر من x
P(X > x) = 1 − Φ(z)
بين قيمتين
Φ(z2) − Φ(z1)
المئين
x = μ + z·σ

الطريقة

  1. حوّل القيمة إلى درجة معيارية: z = (x − μ)/σ.
  2. ابحث عن Φ(z)، وهي المساحة على يسار z.
  3. للمساحة على اليمين استخدم 1 − Φ(z)؛ ولفترة اطرح المساحتين اليساريتين.
  4. للمئين اعمل بشكل عكسي: أوجد z للمساحة، ثم x = μ + z·σ.

فترات الثقة

σ معلومة
x̄ ± z·σ/√n
σ مجهولة
x̄ ± t·s/√n, df = n − 1
z الحرجة
90%: 1,645, 95%: 1,96, 99%: 2,576
حجم العينة
n = (z·σ/E)², rounded up

الطريقة

  1. اختر بين z (σ للمجتمع معلومة) و t (الانحراف العيّني s فقط، مع n − 1 درجة حرية).
  2. أوجد القيمة الحرجة لمستوى الثقة.
  3. هامش الخطأ: E = القيمة الحرجة × الانحراف المعياري/√n.
  4. الفترة: x̄ ± E.

اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

اختبار z للمتوسط
z = (x̄ − μ0)/(σ/√n)
اختبار t للمتوسط
t = (x̄ − μ0)/(s/√n), df = n − 1
ثنائي الطرف عند 5%
ارفض H0 إذا |z| > 1,96
فترة الثقة
x̄ ± z·σ/√n

الطريقة

  1. اذكر H₀ و H₁ وحدّد ما إذا كان الاختبار أحادي الطرف أم ثنائي الطرف.
  2. احسب إحصاءة الاختبار: (x̄ − μ₀)/(σ/√n)، أو باستخدام s و t.
  3. قارن بالقيمة الحرجة، أو أوجد القيمة الاحتمالية (p-value).
  4. ارفض H₀ إذا تجاوزت الإحصاءة القيمة الحرجة (p أقل من α)، واذكر الاستنتاج بالكلمات.

الانحدار الخطي والارتباط

مجاميع المربعات
Sxx = Σ(x − x̄)² = Σx² − (Σx)²/n, Sxy = Σxy − ΣxΣy/n
الميل
b = Sxy/Sxx
المقطع
a = ȳ − b·x̄
الارتباط
r = Sxy/√(SxxSyy)
البُواقي
e = y − ŷ

اختبارات مربع كاي

إحصائية الاختبار
χ² = Σ(O − E)²/E
جودة المطابقة
E = n·p, df = k − 1 − (estimated parameters)
الاستقلالية
E = row total × column total / grand total, df = (r − 1)(c − 1)
القيم الحرجة (α = 0,05)
df 1: 3,841, 2: 5,991, 3: 7,815, 4: 9,488
القرار
ارفض H0 إذا كان χ² > χ²crit

2مسائل تدريبية

1.التوزيع الطبيعيمتوسطة
174,85185,35P = ?

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. ما النسبة التي تقع بين 174,85 و 185,35 cm؟ أعطِ P كعدد عشري.

μ = 178σ = 7x1 = 174,85x2 = 185,35
P =
2.التوزيع الطبيعيصعبة
μ = 178x = ?25%

أطوال الرجال البالغين موزعة توزيعًا طبيعيًا بمتوسط 178 cm وانحراف معياري 7 cm. أوجد القيمة x التي يقع تحتها 25% منها (المئين 25).

μ = 178σ = 7P = 25%
x = cm
3.فترات الثقةمتوسطة
n = 10, s = 4L = ?Ux̄ = 73,5E99%

عينة من 10 مفردة متوسطها 73,5 وانحرافها المعياري s = 4. المجتمع طبيعي تقريبًا. أوجد الحد الأدنى لفترة الثقة 99% للمتوسط.

n = 10x̄ = 73,5s = 499%t(9) = 3,25
الحد الأدنى =
4.فترات الثقةصعبة
μ₁ − μ₂, t(29) = 1,6990LUx̄₁ − x̄₂E = ?90%

يُختبر سمادان. مجموعة القطع 1: 6 قطعة، متوسط المحصول 15,5 kg، الانحراف المعياري 7,5 kg. مجموعة القطع 2: 25 قطعة، المتوسط 16 kg، الانحراف المعياري 1,5 kg. افترض تساوي التباينين (t المجمَّع، df = n₁ + n₂ − 2). أوجد هامش الخطأ E لفترة الثقة 90% للفرق μ₁ − μ₂.

n₁ = 6x̄₁ = 15,5s₁ = 7,5n₂ = 25x̄₂ = 16s₂ = 1,590%t(29) = 1,699
E = kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةمتوسطة
t −2,06402,064

عينة من 25 طالبًا متوسط درجاتها 123,4 وانحرافها المعياري 10. أوجد إحصائية الاختبار t لـ H₀: μ = 120.

μ₀ = 120x̄ = 123,4s = 10n = 25
t =
6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقةصعبة
z −2,57602,576

عينة من 81 قياسًا متوسطها 117,2. الانحراف المعياري للمجتمع 12. أوجد الحد الأعلى U لفترة الثقة 99% للمتوسط.

x̄ = 117,2σ = 12n = 8199%
U =
7.الانحدار الخطي والارتباطمتوسطة
xy123222320418520xy24182022

يعطي الجدول 5 مشاهدات مزدوجة لـ x = عمر السيارة بالسنوات و y = السعر بالـ k€. أوجد معامل التحديد r² لخط المربعات الصغرى.

n = 5
r² =
8.الانحدار الخطي والارتباطصعبة
xy21042062683410431249xy5102040ŷ = 15

يعطي الجدول 6 مشاهدات مزدوجة لـ x = الحمل بالـ kN و y = الاستطالة بالـ mm. استخدم خط المربعات الصغرى ŷ = a + b·x. عند أي قيمة x يتنبّأ الخط بـ ŷ = 15؟

n = 6ŷ = 15
x =
9.اختبارات مربع كايمتوسطة
الحافلةالدراجةالسيارةالمجموعالطلاب40271380الموظفون501832100المجموع904545180

يبيّن جدول التوافق التكرارات المشاهَدة. احسب إحصاءة مربع كاي χ² لاختبار الاستقلالية بين متغيّري الصفوف والأعمدة. لا تستخدم تصحيح الاستمرارية.

N = 1802 × 3
χ² =
10.اختبارات مربع كايصعبة
dfα = 0,05α = 0,0113,8416,63525,9919,21037,81511,34549,48813,277511,07015,086612,59216,812714,06718,475815,50720,090916,91921,6661018,30723,209

يقارن اختبار مربع كاي لجودة المطابقة التكرارات المشاهَدة في 9 فئات بنسب متوقَّعة محدّدة تمامًا (لا تُقدَّر أي معلَمات من البيانات). باستخدام الجدول، أوجد القيمة الحرجة χ²crit عند مستوى الدلالة α = 0,01.

α = 0,01
χ²crit =

3المحاليل

1.التوزيع الطبيعي

الإجابة: P = 0,5268

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

الدرجات المعيارية

z₁ = (174,85 − 178)/7 = −0,45
z₂ = (185,35 − 178)/7 = 1,05

المساحة بين القيمتين

P = Φ(1,05) − Φ(−0,45) = 0,8531 − 0,3264 = 0,5268

الإجابة

P = 0,5268
2.التوزيع الطبيعي

الإجابة: x = 173,3 cm

التوزيع الطبيعي: حوّل القيمة x إلى درجة معيارية z = (x − μ)/σ، وهي تعدّ الانحرافات المعيارية عن المتوسط. يعطي جدول z (أو Φ(z)) المساحة على يسار z، وهي P(X < x). المساحة على اليمين هي 1 − Φ(z)، والمساحة بين قيمتين هي الفرق بين مساحتيهما.

قيمة z للمئين

Φ(z) = 0,25 → z = −0,6745

العودة إلى x

x = 178 + −0,6745·7 = 173,28 cm

الإجابة

x = 173,28 cm
3.فترات الثقة

الإجابة: الحد الأدنى = 69,39

فترة الثقة للمتوسط: x̄ ± هامش الخطأ. عندما يكون σ للمجتمع معلومًا يكون الهامش z·σ/√n؛ وإذا لم يتوفر إلا الانحراف المعياري للعينة s، فاستخدم t بدرجات حرية n − 1: t·s/√n. القيم الحرجة: z = 1,645 (90%)، 1,96 (95%)، 2,576 (99%). للحصول على هامش E أو أقل تحتاج إلى n ≥ (z·σ/E)²، مقرَّبًا إلى الأعلى.

القيمة الحرجة

df = n − 1 = 9, t = 3,25

هامش الخطأ

E = 3,25·4/√10 = 4,111

الفترة

73,5 ± 4,111 → [69,39, 77,61]

الإجابة

الحد الأدنى = 69,39
4.فترات الثقة

الإجابة: E = 2,626 kg

Interval for a difference: estimate ± critical value × standard error. For two independent means with known σ: SE = √(σ₁²/n₁ + σ₂²/n₂) and z. With equal unknown variances: pooled s_p and t with n₁ + n₂ − 2 degrees of freedom. For paired data, work with the differences: d̄ ± t·s_d/√n.

الانحراف المعياري المجمَّع

sp² = (5·7,5² + 24·1,5²)/29 = 11,56
sp = 3,4

هامش الخطأ

E = 1,699·3,4·√(1/6 + 1/25) = 2,626

الإجابة

E = 2,626 kg
5.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: t = 1,7

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

الخطأ المعياري

SE = 10/√25 = 10/5 = 2

إحصائية الاختبار

t = (123,4 − 120)/2 = 1,7

الإجابة

t = 1,7
t0,025; df = 24 = 2,064

|t| < 2.064، لذا لا تُرفض H₀ عند مستوى 5% (ثنائي الطرف).

6.اختبارات الفرضيات وفترات الثقة

الإجابة: U = 120,6

اختبار المتوسط: تقيس إحصائية الاختبار كم خطأً معياريًا يبعد متوسط العينة عن القيمة المزعومة في H₀: z = (x̄ − μ₀)/(σ/√n) عندما تكون σ معلومة، و t = (x̄ − μ₀)/(s/√n) عندما تُقدَّر من العينة. فترة الثقة هي x̄ ± (القيمة الحرجة)·(الخطأ المعياري).

هامش الخطأ

E = 2,576·12/√81 = 3,435

حد الفترة

U = 117,2 + 3,435 = 120,6

الإجابة

U = 120,6
7.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: r² = 0,6579

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 15/5 = 3
ȳ = 103/5 = 20,6

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 10
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = −10
Syy = Σ(y − ȳ)² = 15,2

معامل التحديد

r² = −10²/(10·15,2) = 0,6579

الإجابة

r² = 0,6579

نحو 65,79% من التباين في y يفسّره الخط.

8.الانحدار الخطي والارتباط

الإجابة: x = 3,054

انحدار المربعات الصغرى: مع x̄ و ȳ المتوسطين، و Sxx = Σ(x − x̄)²، و Syy = Σ(y − ȳ)² و Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ)، يكون للخط ŷ = a + b·x الميل b = Sxy/Sxx والمقطع a = ȳ − b·x̄، لذا يمرّ دائمًا بالنقطة (x̄, ȳ). معامل ارتباط بيرسون r = Sxy/√(Sxx·Syy) يقع بين −1 و 1؛ و r² هو نسبة التباين في y التي يفسّرها الخط.

المتوسطات

x̄ = 42/6 = 7
ȳ = 182/6 = 30,33

مجاميع المربعات والضروب

Sxx = Σ(x − x̄)² = 70
Sxy = Σ(x − x̄)(y − ȳ) = 272

خط الانحدار

b = 272/70 = 3,886
a = 30,33 − 3,886·7 = 3,133
ŷ = 3,133 + 3,886·x

حلّ لإيجاد x

x = (15 − 3,133)/3,886 = 3,054

الإجابة

x = 3,054
9.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ² = 8,82

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

التكرارات المتوقَّعة

الطلاب: 80·90/180 = 40, 80·45/180 = 20, 80·45/180 = 20
الموظفون: 100·90/180 = 50, 100·45/180 = 25, 100·45/180 = 25

إحصاءة مربع كاي

χ² = (40 − 40)²/40 + (27 − 20)²/20 + (13 − 20)²/20 + (50 − 50)²/50 + (18 − 25)²/25 + (32 − 25)²/25
χ² = 8,82

الإجابة

χ² = 8,82

df = 2. عند α = 0,05 تكون القيمة الحرجة 5,991، لذا فإن H₀ (الاستقلالية) مرفوضة.

10.اختبارات مربع كاي

الإجابة: χ²crit = 20,09

اختبارات مربع كاي: قارن التكرارات المشاهَدة O بالتكرارات المتوقَّعة E تحت H₀ باستخدام χ² = Σ(O − E)²/E. جودة المطابقة: E = n·p لكل فئة، df = k − 1 (ناقص واحد إضافي لكل معلَمة تُقدَّر من البيانات). الاستقلالية في جدول r × c: E = مجموع الصف × مجموع العمود / المجموع الكلي، df = (r − 1)(c − 1). ارفض H₀ عندما تتجاوز χ² القيمة الحرجة عند α المختارة.

درجات الحرية

df = 9 − 1 = 8

الجدول

χ²crit(df = 8, α = 0,01) = 20,090

الإجابة

χ²crit = 20,090

ارفض H₀ إذا كانت χ² المحسوبة أكبر من هذه القيمة.

ExamProblems · examproblems.com/courses/statistics-2-inference