تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w = 3 kN/mP = 70 kNABRA​ = ?3 m7 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طولها كله وحملًا مركّزًا P على بعد 3 m من الجدار. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA عند الجدار.

L = 10 mP = 70 kN عند 3 mw = 3 kN/m من 0 إلى 10 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​ = ?RB​4 m1 m5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 10 mP = 60 kN عند 5 mw = 5 kN/m من 4 إلى 5 m
RA = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 4 kN/mP = 70 kNABمقطع1 m1 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A. أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 1 m من الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2 mP = 70 kN عند 2 mw = 4 kN/m من 0 إلى 2 mx = 1 m
Mx = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mAB1 m5 m4 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 10 mw = 10 kN/m من 1 إلى 6 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH35 kN20 kN40 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓C: 20 kN ↓G: 40 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH10 kN25 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 10 kN ↓H: 25 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 2 kN/mABθ6 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد ميل الكمرة θA عند الركيزة A، بالراديان.

w = 2 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 12 × 10⁶ mm⁴
θA = rad
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 1,5 kN/mABδ3,5 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 100 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 1,5 kN/mL = 3,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 100 mm
hreq = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2 md = 40 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 115 kNL = 1,5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 115 kNn = 2L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 100 kN

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل الموزّع

W = 3·10 = 30 kN, x̄ = 5 m

الاتزان الرأسي

RA = P + W = 70 + 30 = 100 kN

الإجابة

RA = 100 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 32,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 5 kN/mP = 60 kNABRA​RB​4 m1 m5 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·1 = 5 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 60·5 + 5·1·4,5
RB = 322,5/10 = 32,25 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 32,25 = 32,75 kN

الإجابة

RA = 32,75 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = −72 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −70·1 = −70 kN·m
w: −4·1²/2 = −2 kN·m
Mx = −70 − 2 = −72 kN·m

الإجابة

Mx = −72 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 85,31 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 10·5·3,5
RB = 175/10 = 17,5 kN
ΣFy = 0: RA = 50 − 17,5 = 32,5 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند RA، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

RA − w·(x0 − 1) = 0
x0 = 1 + 32,5/10 = 4,25 m

أقصى عزم

Mmax = RA·x0 − w·(x0 − 1)²/2 = 32,5·4,25 − 10·3,25²/2 = 85,31 kN·m

الإجابة

Mmax = 85,31 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 56,25 kN (T), BC: 56,25 kN (T), CD: 38,75 kN (T), DE: 38,75 kN (T), FG: 77,5 kN (C), GH: 77,5 kN (C), AF: 79,55 kN (C), HE: 54,8 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 30,05 kN (T), HC: 54,8 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 11,25 kN (C), BC: 7,5 kN (C), CD: 7,5 kN (C), DE: 3,75 kN (C), FG: 13,75 kN (C), GH: 21,25 kN (C), AF: 19,45 kN (C), HE: 5,303 kN (T), BF: 3,75 kN (T), CG: 0, DH: 3,75 kN (C), BG: 5,303 kN (C), DG: 5,303 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: θA = 0,02143 rad

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). الميل θ = dv/dx هو التكامل الأول لـ M/(EI)؛ وبوحدات متّسقة يخرج بالراديان.

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 6000 mm
EI = 8,4 × 10¹¹ N·mm²

ميل الطرف

θA = wL³/(24EI) = 2·6000³/(24·8,4 × 10¹¹) = 0,02143 rad

الإجابة

θA = 0,02143 rad

أي 1,228°.

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: hreq = 139,9 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 1,5 N/mm, L = 3500 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/300 = 3500/300 = 11,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·1,5·3500⁴/(384·11000·11,67) = 2,284 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·2,284 × 10⁷/100)1/3 = 139,9 mm

الإجابة

hreq = 139,9 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 248,1 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/1000² = 248050 N = 248,1 kN

الإجابة

Pcr = 248,1 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 40,22 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2·115000 = 230000 N
KL = 0,7·1500 = 1050 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·230000·1050²/(π³·200000))^(1/4) = 40,22 mm

الإجابة

d = 40,22 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 104,4، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis