تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​ = ?2 m1 m5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mP1 = 15 kN عند 2 mP2 = 30 kN عند 3 m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​RB​ = ?1 m3 m4 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 10 mP = 50 kN عند 1 mw = 6 kN/m من 4 إلى 8 m
RB = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 4 kN/mP = 50 kNAB1,5 m3,5 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 1,5 m من A. أوجد عزم الانحناء MA عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 50 kN عند 1,5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 5 m
MA = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 8 kN/mP = 40 kNABمقطع1 m8 m1 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 9 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 10 mP = 40 kN عند 1 mw = 8 kN/m من 0 إلى 10 mx = 9 m
Mx = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB30 kN8 m7 m4 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 30 kN
FAB = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB10 kN5 kN6 m4 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 5 kN →
FAB = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 5 kN/mP = 16 kNABδ1,5 m

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 16 kNw = 5 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 160 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 4 kN/mδL = 3 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.

w = 4 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 1,5 m25 × 40 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 25 × 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 95 kNL = 1 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 2,5L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 15 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 15 kNP2​ = 30 kNABRA​RB​2 m1 m5 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·2 + 30·3
RB = 120/8 = 15 kN
ΣFy = 0: RA = 45 − 15 = 30 kN

الإجابة

RB = 15 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 19,4 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 6 kN/mP = 50 kNABRA​RB​1 m3 m4 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 6 m
ΣMA = 0: RB·10 = 50·1 + 6·4·6
RB = 194/10 = 19,4 kN
ΣFy = 0: RA = 74 − 19,4 = 54,6 kN

الإجابة

RB = 19,4 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: MA = −125 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −50·1,5 = −75 kN·m
w: −4·5²/2 = −50 kN·m
MA = −75 − 50 = −125 kN·m

الإجابة

MA = −125 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 40 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·10 = 80 kN، تؤثّر عند x̄ = 5 m
ΣMA = 0: RB·10 = 40·1 + 8·10·5
RB = 440/10 = 44 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 44 = 76 kN
w = 8 kN/mP = 40 kNABRA​ = 76RB​ = 44مقطع1 m8 m1 m

اقطع عند x = 9 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 76·9 − 40·(9 − 1) − 8·9·4,5 = 40 kN·m

الإجابة

Mx = 40 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = −7,558 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB30 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 30·7 → Cy = 26,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 30 − 26,25 = 3,75 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,4961 = −7,558 kN

الإجابة

FAB = −7,558 kN (ضغط)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = −1,389 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB10 kN5 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 10·4 + 5·3 → Cy = 9,167 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 9,167 = 0,8333 kN
ΣFx = 0: Ax = −5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/5 = 0,6
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −0,8333/0,6 = −1,389 kN

الإجابة

FAB = −1,389 kN (ضغط)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 12,03 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 16000 N, w = 5 N/mm, L = 1500 mm
EI = 1,76 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δP = PL³/(3EI) = 16000·1500³/(3·1,76 × 10¹²) = 10,23 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 5·1500⁴/(8·1,76 × 10¹²) = 1,798 mm

اجمعها

δ = 10,23 + 1,798 = 12,03 mm

الإجابة

δ = 12,03 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 3000/360 = 8,333 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·4·3000⁴/(384·70000·8,333) = 7,232 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ireq = 7,232 × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 15,99 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 40·25³/12 = 52083 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·52083/1500² = 15992 N = 15,99 kN

الإجابة

Pcr = 15,99 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 72,75 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N
KL = 2·1000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2000²/(π³·70000))^(1/4) = 72,75 mm

الإجابة

d = 72,75 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 110، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis