تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​ = ?3 m4 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mP1 = 10 kN عند 3 mP2 = 20 kN عند 7 m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​ = ?RB​7 m2 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 10 mP = 35 kN عند 7 mw = 2 kN/m من 7 إلى 9 m
RA = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 45 kNP2​ = 45 kNAB6 m1 m3 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 10 mP1 = 45 kN عند 6 mP2 = 45 kN عند 7 m
Mmax = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
4 kN/m15 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

15 kN @ 12 m4 kN/m, 0–8 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH35 kN30 kN20 kN25 kN30 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 35 kN ↓C: 30 kN ↓F: 20 kN ↓G: 25 kN ↓H: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH15 kN40 kN25 kN40 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓F: 40 kN ↓H: 25 kN ↓H: 40 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 2 kN/mδL = 4 m

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 2 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 57 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 5 kN/mδL = 6 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.

w = 5 kN/mL = 6 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2,5 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 95 kNL = 4 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 2,5L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 21,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​3 m4 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 10·3 + 20·7
RB = 170/8 = 21,25 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 21,25 = 8,75 kN

الإجابة

RB = 21,25 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 11,3 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 2 kN/mP = 35 kNABRA​RB​7 m2 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·2 = 4 kN، تؤثّر عند x̄ = 8 m
ΣMA = 0: RB·10 = 35·7 + 2·2·8
RB = 277/10 = 27,7 kN
ΣFy = 0: RA = 39 − 27,7 = 11,3 kN

الإجابة

RA = 11,3 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 189 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣMA = 0: RB·10 = 45·6 + 45·7
RB = 585/10 = 58,5 kN
ΣFy = 0: RA = 90 − 58,5 = 31,5 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P1: M = RA·6 = 31,5·6 = 189 kN·m
تحت P2: M = RB·3 = 58,5·3 = 175,5 kN·m

أكبر قيمة

Mmax = 189 kN·m (تحت P1)

الإجابة

Mmax = 189 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 8,5 kN, R2 = 38,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 9, MC = 2, MD = −21, ME = −60 kN·m, MF = −30, MG = 0

الإجابة

علامة E: ME = −60 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 57,19 kN (T), BC: 57,19 kN (T), CD: 47,81 kN (T), DE: 47,81 kN (T), FG: 73,12 kN (C), GH: 73,12 kN (C), AF: 95,31 kN (C), HE: 79,69 kN (C), BF: 35 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 26,56 kN (T), HC: 42,19 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 17,5 kN (T), BC: 20 kN (T), CD: 20 kN (T), DE: 22,5 kN (T), FG: 57,5 kN (C), GH: 62,5 kN (C), AF: 81,32 kN (C), HE: 31,82 kN (C), BF: 17,5 kN (T), CG: 0, DH: 2,5 kN (C), BG: 3,536 kN (C), DG: 3,536 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 5,614 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,14 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 2·4000⁴/(8·1,14 × 10¹³) = 5,614 mm

الإجابة

δ = 5,614 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: Ireq = 460,2 × 10⁶ mm⁴

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·5·6000⁴/(384·11000·16,67) = 4,602 × 10⁸ mm⁴
Ireq = 460,2 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ireq = 460,2 × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 24,22 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·2500 = 5000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/5000² = 24224 N = 24,22 kN

الإجابة

Pcr = 24,22 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 66,21 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·95000 = 237500 N
KL = 0,7·4000 = 2800 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·237500·2800²/(π³·200000))^(1/4) = 66,21 mm

الإجابة

d = 66,21 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 169,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis