تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 3 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 3 mAC = 4 mP₁ = 35 kN عند 0,5 mP₂ = 15 kN عند 4 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 8 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 6 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله وحملًا مركّزًا Q على بعد 1 m من A. أوجد ردّ الفعل R_D عند البكرة.

AC = 3 mAD = 8 mP = 35 kN عند 6 mw = 2 kN/m من 3 إلى 8 mQ = 10 kN عند 1 m

R_D = kN

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل ازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M₀ = 55 kN·m عند x = 1 m من A، ولا يوجد حمل آخر. أوجد عزم الانحناء M_x يسار الازدواج مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mM₀ = 55 kN·m باتجاه عقارب الساعة، عند 1 m

M_x = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mw = 12 kN/m من 1 إلى 4 m

M_max = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kNالحمل الأفقي = 5 kN ←

F_BC = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 15 kN/mL = 2,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 17 kNw = 15 kN/mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 140 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 140 kNn = 2L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 24,17 kN

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·3 = 35·0,5 + 15·4

R_B = 77,5/3 = 25,83 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 35 + 15 − 25,83 = 24,17 kN

الإجابة

R_A = 24,17 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_D = 26 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 2·5 = 10 kN عند 2,5 m من C

ΣM_C = 0: R_D·5 = 35·3 + 10·2,5

R_D = 26 kN

V_C = 45 − 26 = 19 kN

الإجابة

R_D = 26 kN

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = −6,875 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. الازدواج المؤثّر يجعل مخطط عزم الانحناء يقفز بمقدار الازدواج.

ردود أفعال الركائز

العزوم حول A، عكس عقارب الساعة موجب: R_B·L − M₀ = 0. الاتزان الرأسي: R_A + R_B = 0.

R_B = M₀/L = 55/8 = 6,875 kN (إلى الأعلى)

R_A = −R_B = −6,875 kN (إلى الأسفل)

اقطع يسار الازدواج مباشرةً

يحتوي الجزء الأيسر على R_A فقط.

M_x = R_A·a = −6,875·1 = −6,875 kN·m

الإجابة

M_x = −6,875 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 21,09 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·3 = 36 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·3·2,5

R_B = 90/4 = 22,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 36 − 22,5 = 13,5 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 1) = 0

x₀ = 1 + 13,5/12 = 2,125 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 1)²/2 = 13,5·2,125 − 12·1,125²/2 = 21,09 kN·m

الإجابة

M_max = 21,09 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 5,833 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·7 → C_y = 17,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 17,5 = 2,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −17,5/0,9487 = −18,45 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−18,45)·0,3162 = 5,833 kN

الإجابة

F_AC = 5,833 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −7,906 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 15·3 − 5·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 7,5 = 7,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,9487 = −7,906 kN

الإجابة

F_BC = −7,906 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 2,289 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 15·2500⁴/(8·3,2 × 10¹³) = 2,289 mm

الإجابة

δ = 2,289 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 23,55 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 17000 N, w = 15 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,53 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 17000·2000³/(48·2,53 × 10¹¹) = 11,2 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,53 × 10¹¹) = 12,35 mm

اجمعها

δ_max = 11,2 + 12,35 = 23,55 mm

الإجابة

δ_max = 23,55 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 6,909 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,5·6000 = 3000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·90000/3000² = 6909 N = 6,909 kN

الإجابة

P_cr = 6,909 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 185,7 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·140000 = 280000 N

KL = 2·6000 = 12000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·280000·12000²/(π³·70000))^(1/4) = 185,7 mm

الإجابة

d = 185,7 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 258,5، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis