تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mP₁ = 20 kN عند 1,5 mP₂ = 50 kN عند 2,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 4 mP = 10 kN عند 2 mw = 4 kN/m من 2 إلى 4 m

R_A = kN

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد قوة القص V_x يسار الركيزة B مباشرةً. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5,5 mP₁ = 35 kN عند 1,5 mP₂ = 20 kN عند 5,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

V_x = kN

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام على جزء من بحرها. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 5 mw = 12 kN/m من 2 إلى 4 m

M_max = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 6 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 30 kN ↓F: 30 kN →G: 10 kN ↓H: 10 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو FC
13العضو HC

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 15 kN/mL = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي I_req يحقّق هذا الحد.

w = 4 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)

I_req = × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. يجب أن يحمل 80 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 80 kNn = 3L = 3 mE = 200 GPa (الفولاذ)

d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 31,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 20·1,5 + 50·2,5

R_B = 155/4 = 38,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 70 − 38,75 = 31,25 kN

الإجابة

R_A = 31,25 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 7 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·2 = 8 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 10·2 + 4·2·3

R_B = 44/4 = 11 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 11 = 7 kN

الإجابة

R_A = 7 kN

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: V_x = −20,63 kN

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·4 = 35·1,5 + 20·5,5

R_B = 162,5/4 = 40,63 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 40,63 = 14,38 kN

اقطع يسار B مباشرةً واحتفظ بالجزء الأيسر

V_x = R_A − P₁ = 14,38 − 35 = −20,63 kN

الإجابة

V_x = −20,63 kN

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 23,04 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·2 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·5 = 12·2·3

R_B = 72/5 = 14,4 kN

ΣF_y = 0: R_A = 24 − 14,4 = 9,6 kN

انعدام القص

تبدأ قوة القص عند R_A، وتبقى ثابتة على أي جزء غير محمَّل، وتتناقص بميل w داخل الحمل.

R_A − w·(x₀ − 2) = 0

x₀ = 2 + 9,6/12 = 2,8 m

أقصى عزم

M_max = R_A·x₀ − w·(x₀ − 2)²/2 = 9,6·2,8 − 12·0,8²/2 = 23,04 kN·m

الإجابة

M_max = 23,04 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −8,385 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 10·6 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 7,5 = 2,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/4,472 = 0,8944, cos γ = 2/4,472 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,8944 = −8,385 kN

الإجابة

F_BC = −8,385 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → F_DH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 52,5 kN (T), BC: 52,5 kN (T), CD: 27,5 kN (T), DE: 27,5 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 45 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 38,89 kN (C), BF: 30 kN (T), CG: 10 kN (C), DH: 0, FC: 10,61 kN (C), HC: 24,75 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,302 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 15 N/mm, L = 2000 mm

EI = 2,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·15·2000⁴/(384·2,4 × 10¹²) = 1,302 mm

الإجابة

δ_max = 1,302 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 6000/360 = 16,67 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·4·6000⁴/(384·200000·16,67) = 2,025 × 10⁷ mm⁴

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

I_req = 20,25 × 10⁶ mm⁴

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 900 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·3000 = 2100 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/2100² = 899955 N = 900 kN

الإجابة

P_cr = 900 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 97,17 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 3·80000 = 240000 N

KL = 2·3000 = 6000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·240000·6000²/(π³·200000))^(1/4) = 97,17 mm

الإجابة

d = 97,17 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 247، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis