تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P = 30 kNM = 60 kN·mABRB​ = ?0,5 m0,5 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 0,5 m من A وازدواجًا عكس عقارب الساعة M على بعد 1 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي RB، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 4 mP = 30 kN عند 0,5 mM = 60 kN·m (عكس عقارب الساعة) عند 1 m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w0​ = 12 kN/mP = 55 kNABMA​ = ?6 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 12 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 6 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.

L = 6 mw0 = 12 kN/mP = 55 kN عند 6 m
MA = kN·m
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
30 kN40 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 8 m40 kN @ 6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mP = 50 kNAB3 m3 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 6 mP = 50 kN عند 3 mw = 10 kN/m من 0 إلى 6 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH40 kN15 kN25 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 40 kN ↓D: 15 kN ↓G: 25 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH20 kN15 kN25 kN25 kN4 × 4 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 20 kN ↓F: 15 kN →G: 25 kN ↓H: 25 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 16 kNABδ7 m1 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 7 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δP تحت الحمل.

P = 16 kNa = 7 mL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 12 kN/mAB3 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء MA عند الطرف المثبَّت.

L = 3 mw = 12 kN/m
MA = kN·m
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 1,5 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 1,5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 50 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 25 kNL = 6 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 25 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 25 kNn = 2,5L = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = −11,25 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·4 − 30·0,5 + 60 = 0
RB = −45/4 = −11,25 kN

الاتزان الرأسي

RA = 30 − (−11,25) = 41,25 kN

الإجابة

RB = −11,25 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: MA = 474 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·12·6 = 36 kN
x̄ = 2L/3 = 4 m

العزم حول الجدار

MA = W·x̄ + P·a = 36·4 + 55·6 = 474 kN·m

الإجابة

MA = 474 kN·m
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 30 kN, R2 = 40 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 60, MC = 120, MD = 180 kN·m, ME = 160, MF = 80, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 180 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 120 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 50·3 + 10·6·3
RB = 330/6 = 55 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 55 = 55 kN

أين يكون V = 0؟

V(3⁻) = RA − w·3 = 25 kN
V(3⁺) = 25 − 50 = −25 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

Mmax = RA·3 − w·3²/2 = 55·3 − 10·3²/2 = 120 kN·m

الإجابة

Mmax = 120 kN·m

يقع عند x = 3 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 36,25 kN (T), BC: 36,25 kN (T), CD: 43,75 kN (T), DE: 43,75 kN (T), FG: 72,5 kN (C), GH: 72,5 kN (C), AF: 51,27 kN (C), HE: 61,87 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 15 kN (T), FC: 51,27 kN (T), HC: 40,66 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 56,25 kN (T), BC: 56,25 kN (T), CD: 52,08 kN (T), DE: 52,08 kN (T), FG: 70,83 kN (C), GH: 70,83 kN (C), AF: 51,56 kN (C), HE: 65,1 kN (C), BF: 20 kN (T), CG: 25 kN (C), DH: 0, FC: 18,23 kN (T), HC: 23,44 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δP = 7,101 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 16000 N, a = 7000 mm, b = 1000 mm, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δP = Pa²b²/(3EIL) = 16000·7000²·1000²/(3·4,6 × 10¹²·8000) = 7,101 mm

الإجابة

δP = 7,101 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: MA = 13,5 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·12·3/8 = 13,5 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

MA = wL²/2 − RB·L = 54 − 40,5 = 13,5 kN·m

الإجابة

MA = 13,5 kN·m
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 67,29 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1500 = 3000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·306796/3000² = 67288 N = 67,29 kN

الإجابة

Pcr = 67,29 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 90,25 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·25000 = 62500 N
KL = 1·6000 = 6000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·62500·6000²/(π³·70000))^(1/4) = 90,25 mm

الإجابة

d = 90,25 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 265,9، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis