تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP₁ = 10 kN عند 3,5 mP₂ = 55 kN عند 4 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته صفر عند الجدار ويرتفع إلى 10 kN/m عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 2,5 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 6 mw₀ = 10 kN/mP = 40 kN عند 2,5 m

M_A = kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7 mP₁ = 50 kN عند 3,5 mP₂ = 15 kN عند 7 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m

M_x = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 0 m30 kN @ 6 m20 kN @ 3 m5 kN/m, 1–5 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 1 m)
3C (x = 2 m)
4D (x = 3 m)
5E (x = 4 m)
6F (x = 5 m)
7G (x = 6 m)

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kNالحمل الأفقي = 5 kN →

F_AB = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δ_max عند منتصف البحر.

w = 20 kN/mL = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 24 kNw = 20 kN/mL = 1,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 12 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 20 × 100 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 51 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 10·3,5 + 55·4

R_B = 255/5 = 51 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 51 = 14 kN

الإجابة

R_B = 51 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 220 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·6 = 30 kN

x̄ = 2L/3 = 4 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 30·4 + 40·2,5 = 220 kN·m

الإجابة

M_A = 220 kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 31,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 50·3,5 + 15·7

R_B = 280/5 = 56 kN

ΣF_y = 0: R_A = 65 − 56 = 9 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·3,5 = 9·3,5 = 31,5 kN·m

الإجابة

M_x = 31,5 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: F (x = 5 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 43,75 kN, R₂ = 51,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = −25, M_C = −8,75, M_D = 2,5, M_E = −11,25, M_F = −30 kN·m, M_G = 0

الإجابة

علامة F: M_F = −30 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −8,333 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 15·4 → C_y = 10 kN

ΣF_y = 0: A_y = 15 − 10 = 5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/5 = 0,6

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,6 = −8,333 kN

الإجابة

F_AB = −8,333 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −7,558 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 50·7 + 5·4 → C_y = 46,25 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 46,25 = 3,75 kN

ΣF_x = 0: A_x = −5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 4/8,062 = 0,4961

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −3,75/0,4961 = −7,558 kN

الإجابة

F_AB = −7,558 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 10,55 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 20 N/mm, L = 6000 mm

EI = 3,2 × 10¹³ N·mm²

الترخيم

δ_max = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·6000⁴/(384·3,2 × 10¹³) = 10,55 mm

الإجابة

δ_max = 10,55 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 22,77 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 24000 N, w = 20 N/mm, L = 1500 mm, EI = 1,32 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 24000·1500³/(48·1,32 × 10¹¹) = 12,78 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·20·1500⁴/(384·1,32 × 10¹¹) = 9,988 mm

اجمعها

δ_max = 12,78 + 9,988 = 22,77 mm

الإجابة

δ_max = 22,77 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 94 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 100·20³/12 = 66667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·1000 = 700 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·66667/700² = 93996 N = 94 kN

الإجابة

P_cr = 94 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 26,99 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²

r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm

KL = 0,5·2000 = 1000 mm

KL/r = 1000/6,25 = 160

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/160² = 26,99 MPa

الإجابة

σ_cr = 26,99 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

محصّلة الحمل المثلثي

العزم حول الجدار

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

عزم الانحناء عند كل علامة

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة A

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة A

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

وحدات متّسقة

كل حمل منفردًا

اجمعها

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

نصف قطر الدوران والنحافة

الإجهاد الحرج

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر