تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​ = ?RB​1 m0,5 m3,5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 5 mP1 = 10 kN عند 1 mP2 = 20 kN عند 1,5 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​1 m1 m3 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 6 mP = 55 kN عند 2 mw = 8 kN/m من 1 إلى 5 m
RA = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
8 kN/m35 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

35 kN @ 6 m8 kN/m, 4–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
5 kN/m55 kN50 kN10 kNABCDEFG2 m2 m2 m2 m2 m2 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

55 kN @ 0 m50 kN @ 12 m10 kN @ 4 m5 kN/m, 2–10 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 2 m)
  3. 3C (x = 4 m)
  4. 4D (x = 6 m)
  5. 5E (x = 8 m)
  6. 6F (x = 10 m)
  7. 7G (x = 12 m)
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB10 kN5 m4 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB25 kN20 kN8 m7 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 25 kNالحمل الأفقي = 20 kN ←
FAB = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 12 kN/mδL = 2,5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 12 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
P = 18 kNP = 18 kNABδ2,667 m2,666 m2,667 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين متساويين P عند نقطتي الثلث (L/3 من كل ركيزة). باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δmax.

P = 18 kNL = 8 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2,5 md = 60 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 60 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 115 kNL = 2 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 115 kNn = 2,5L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 22 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 10 kNP2​ = 20 kNABRA​RB​1 m0,5 m3,5 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1 + 20·1,5
RB = 40/5 = 8 kN
ΣFy = 0: RA = 30 − 8 = 22 kN

الإجابة

RA = 22 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 52,67 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 8 kN/mP = 55 kNABRA​RB​1 m1 m3 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·2 + 8·4·3
RB = 206/6 = 34,33 kN
ΣFy = 0: RA = 87 − 34,33 = 52,67 kN

الإجابة

RA = 52,67 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 6 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 37,5 kN, R2 = 45,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 75, MC = 150, MD = 209 kN·m, ME = 166, MF = 91, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 209 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 2 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 83,75 kN, R2 = 71,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −110 kN·m, MC = −62,5, MD = −55, ME = −67,5, MF = −100, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = −110 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 2,667 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB10 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·5 = 10·4 → Cy = 8 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 8 = 2 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,162 = 0,9487, cos γ = 1/3,162 = 0,3162
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −8/0,9487 = −8,433 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−8,433)·0,3162 = 2,667 kN

الإجابة

FAC = 2,667 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = −26,97 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB25 kN20 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 25·7 − 20·3 → Cy = 14,38 kN
ΣFy = 0: Ay = 25 − 14,38 = 10,63 kN
ΣFx = 0: Ax = 20 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −10,63/0,3939 = −26,97 kN

الإجابة

FAB = −26,97 kN (ضغط)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 2,422 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 12 N/mm, L = 2500 mm
EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·12·2500⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 2,422 mm

الإجابة

δmax = 2,422 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 71,11 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, L = 8000 mm
EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

حمل واحد عند L/3

δ₁ = Pb(3L² − 4b²)/(48EI), b = L/3 = 2667 mm
δ₁ = 35,56 mm

اجمع الحملين

δmax = 2·δ₁ = 23PL³/(648EI) = 71,11 mm

الإجابة

δmax = 71,11 mm
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 143,5 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·636173/1750² = 143515 N = 143,5 kN

الإجابة

Pcr = 143,5 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 58,69 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N
KL = 1·2000 = 2000 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·2000²/(π³·200000))^(1/4) = 58,69 mm

الإجابة

d = 58,69 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 136,3، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis