تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 6 kN/m عند A إلى الصفر عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 4,5 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_A.

L = 6 mw₀ = 6 kN/mP = 60 kN عند 4,5 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 3,5 m من A، مائلًا بزاوية 40° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 5 m من A. أوجد الزاوية α بين قوة ردّ الفعل الكلية عند المسمار A والأفق.

L = 6 mP = 45 kN عند 3,5 m, θ = 40°Q = 70 kN عند 5 m

α = °

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 5,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 6 mw = 3 kN/m من 0 إلى 6 mx = 5,5 m

M_x = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 6 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 30 kN عند 6 mw = 4 kN/m من 0 إلى 8 mx = 6 m

M_x = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 50 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 4 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kNالحمل الأفقي = 25 kN →

F_BC = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 4 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 21 kNw = 5 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 25 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 60 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 27 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·6·6 = 18 kN

x̄ = L/3 = 2 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 18·2 + 60·4,5

R_B = 51 kN

R_A = 78 − 51 = 27 kN

الإجابة

R_A = 27 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: α = 34,53 °

مركّبتا P

P_v = 45·sin 40° = 28,93 kN

P_h = 45·cos 40° = 34,47 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·6 = 28,93·3,5 + 70·5 → R_B = 75,21 kN

A_y = 28,93 + 70 − 75,21 = 23,72 kN

A_x = P_h = 34,47 kN

الاتجاه عند A

α = atan(A_y/A_x) = atan(23,72/34,47) = 34,53°

الإجابة

α = 34,53°

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 4,125 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·6 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 3·6·3

R_B = 54/6 = 9 kN

ΣF_y = 0: R_A = 18 − 9 = 9 kN

اقطع عند x = 5,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 9·5,5 − 3·5,5·2,75 = 4,125 kN·m

الإجابة

M_x = 4,125 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 69 kN·m

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 4·8 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 30·6 + 4·8·4

R_B = 308/8 = 38,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 62 − 38,5 = 23,5 kN

اقطع عند x = 6 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 23,5·6 − 4·6·3 = 69 kN·m

الإجابة

M_x = 69 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −17,68 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 50·1 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 50 − 12,5 = 37,5 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −12,5/0,7071 = −17,68 kN

الإجابة

F_BC = −17,68 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −59,09 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 55·4 + 25·3 → C_y = 49,17 kN

ΣF_y = 0: A_y = 55 − 49,17 = 5,833 kN

ΣF_x = 0: A_x = −25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −49,17/0,8321 = −59,09 kN

الإجابة

F_BC = −59,09 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 43,4 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 4 N/mm, L = 5000 mm

EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 4·5000⁴/(8·7,2 × 10¹²) = 43,4 mm

الإجابة

δ = 43,4 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 43,15 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 21000 N, w = 5 N/mm, L = 3000 mm, EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 21000·3000³/(48·3,96 × 10¹¹) = 29,83 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·3000⁴/(384·3,96 × 10¹¹) = 13,32 mm

اجمعها

δ_max = 29,83 + 13,32 = 43,15 mm

الإجابة

δ_max = 43,15 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 2,366 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·19175/4000² = 2366 N = 2,366 kN

الإجابة

P_cr = 2,366 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 6,94 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·60⁴/64 = 636173 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 2827 mm²

r = √(I/A) = √(636173/2827) = 15 mm

KL = 2·4000 = 8000 mm

KL/r = 8000/15 = 533,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·200000/533,3² = 6,94 MPa

الإجابة

σ_cr = 6,94 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis