تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 4 kN/mP = 80 kNABRA​ = ?3 m2 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 4 kN/m عند A إلى الصفر عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 3 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 5 mw0 = 4 kN/mP = 80 kN عند 3 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​ = ?RB​3 m2 m1 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 8 mP = 55 kN عند 5 mw = 6 kN/m من 3 إلى 6 m
RA = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 70 kNP2​ = 50 kNAB1 m5 m4 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 10 mP1 = 70 kN عند 1 mP2 = 50 kN عند 6 m
Mmax = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mP = 55 kNAB2,5 m2,5 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 5 mP = 55 kN عند 2,5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 5 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH20 kN20 kN25 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 20 kN ↓D: 20 kN ↓G: 25 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH30 kN35 kN35 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 30 kN ↓F: 35 kN →H: 35 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 12 kNABδ2,5 m1,5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 2,5 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δP تحت الحمل.

P = 12 kNa = 2,5 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 6 kN/mAB8 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل RB عند الركيزة الساندة.

L = 8 mw = 6 kN/m
RB = kN
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 md = 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 100 kNL = 2,5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 100 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 100 kNn = 3L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 38,67 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·4·5 = 10 kN
x̄ = L/3 = 1,667 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·5 = 10·1,667 + 80·3
RB = 51,33 kN
RA = 90 − 51,33 = 38,67 kN

الإجابة

RA = 38,67 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 28,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 6 kN/mP = 55 kNABRA​RB​3 m2 m1 m2 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·3 = 18 kN، تؤثّر عند x̄ = 4,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 55·5 + 6·3·4,5
RB = 356/8 = 44,5 kN
ΣFy = 0: RA = 73 − 44,5 = 28,5 kN

الإجابة

RA = 28,5 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 148 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣMA = 0: RB·10 = 70·1 + 50·6
RB = 370/10 = 37 kN
ΣFy = 0: RA = 120 − 37 = 83 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P1: M = RA·1 = 83·1 = 83 kN·m
تحت P2: M = RB·4 = 37·4 = 148 kN·m

أكبر قيمة

Mmax = 148 kN·m (تحت P2)

الإجابة

Mmax = 148 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 100 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·5 = 50 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 55·2,5 + 10·5·2,5
RB = 262,5/5 = 52,5 kN
ΣFy = 0: RA = 105 − 52,5 = 52,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(2,5⁻) = RA − w·2,5 = 27,5 kN
V(2,5⁺) = 27,5 − 55 = −27,5 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

Mmax = RA·2,5 − w·2,5²/2 = 52,5·2,5 − 10·2,5²/2 = 100 kN·m

الإجابة

Mmax = 100 kN·m

يقع عند x = 2,5 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 20,63 kN (T), BC: 20,63 kN (T), CD: 28,12 kN (T), DE: 28,12 kN (T), FG: 41,25 kN (C), GH: 41,25 kN (C), AF: 34,38 kN (C), HE: 46,87 kN (C), BF: 0, CG: 25 kN (C), DH: 20 kN (T), FC: 34,38 kN (T), HC: 21,88 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 42,5 kN (T), BC: 50 kN (T), CD: 50 kN (T), DE: 57,5 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 57,5 kN (C), AF: 10,61 kN (C), HE: 81,32 kN (C), BF: 7,5 kN (T), CG: 0, DH: 22,5 kN (T), BG: 10,61 kN (C), DG: 10,61 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δP = 23,63 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 12000 N, a = 2500 mm, b = 1500 mm, L = 4000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δP = Pa²b²/(3EIL) = 12000·2500²·1500²/(3·5,95 × 10¹¹·4000) = 23,63 mm

الإجابة

δP = 23,63 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: RB = 18 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·6·8/8 = 18 kN

الإجابة

RB = 18 kN
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 248,1 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/4000² = 248050 N = 248,1 kN

الإجابة

Pcr = 248,1 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 72,15 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 3·100000 = 300000 N
KL = 0,7·2500 = 1750 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·300000·1750²/(π³·70000))^(1/4) = 72,15 mm

الإجابة

d = 72,15 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 97,03، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis