تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P = 65 kNM = 40 kN·mABRA​ = ?3 m5 m2 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 8 m من A وازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M على بعد 3 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي RA، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 10 mP = 65 kN عند 8 mM = 40 kN·m (باتجاه عقارب الساعة) عند 3 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​ = ?2 m1,5 m2,5 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 6 mP = 55 kN عند 3,5 mw = 5 kN/m من 2 إلى 6 m
RB = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 65 kNP2​ = 35 kNABC2,5 m1,5 m1,5 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5,5 mP1 = 65 kN عند 2,5 mP2 = 35 kN عند 5,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m
Mx = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 6 kN/mP = 65 kNAB1 m3 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 4 mP = 65 kN عند 1 mw = 6 kN/m من 0 إلى 4 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB15 kN8 m6 m4 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 6 m عن Aالحمل الرأسي = 15 kN
FAB = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB40 kN15 kN4 m3 m2 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kNالحمل الأفقي = 15 kN →
FBC = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 10 kN/mδL = 4 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 10 kN/mL = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 2 kN/mABδ3 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 75 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/300. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 2 kN/mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 75 mm
hreq = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 3 m30 × 100 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 30 × 100 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
PL = 4 md = 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm
σcr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 9 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣMA = 0: RB·10 − 65·8 − 40 = 0
RB = 560/10 = 56 kN

الاتزان الرأسي

RA = 65 − 56 = 9 kN

الإجابة

RA = 9 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 45,42 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 5 kN/mP = 55 kNABRA​RB​2 m1,5 m2,5 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·6 = 55·3,5 + 5·4·4
RB = 272,5/6 = 45,42 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 45,42 = 29,58 kN

الإجابة

RB = 45,42 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 28,13 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·4 = 65·2,5 + 35·5,5
RB = 355/4 = 88,75 kN
ΣFy = 0: RA = 100 − 88,75 = 11,25 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·2,5 = 11,25·2,5 = 28,13 kN·m

الإجابة

Mx = 28,13 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 57,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·4 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 65·1 + 6·4·2
RB = 113/4 = 28,25 kN
ΣFy = 0: RA = 89 − 28,25 = 60,75 kN

أين يكون V = 0؟

V(1⁻) = RA − w·1 = 54,75 kN
V(1⁺) = 54,75 − 65 = −10,25 kN
يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

Mmax = RA·1 − w·1²/2 = 60,75·1 − 6·1²/2 = 57,75 kN·m

الإجابة

Mmax = 57,75 kN·m

يقع عند x = 1 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAB = −6,76 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB15 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 15·6 → Cy = 11,25 kN
ΣFy = 0: Ay = 15 − 11,25 = 3,75 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 4/7,211 = 0,5547
ΣFy = 0: Ay + FAB·sin α = 0
FAB = −3,75/0,5547 = −6,76 kN

الإجابة

FAB = −6,76 kN (ضغط)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = −41,93 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB40 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·4 = 40·3 + 15·2 → Cy = 37,5 kN
ΣFy = 0: Ay = 40 − 37,5 = 2,5 kN
ΣFx = 0: Ax = −15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −37,5/0,8944 = −41,93 kN

الإجابة

FBC = −41,93 kN (ضغط)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 19,61 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 10 N/mm, L = 4000 mm
EI = 1,7 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·10·4000⁴/(384·1,7 × 10¹²) = 19,61 mm

الإجابة

δmax = 19,61 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: hreq = 145,3 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2 N/mm, L = 3000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/300 = 3000/300 = 10 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·3000⁴/(384·11000·10) = 1,918 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,918 × 10⁷/75)1/3 = 145,3 mm

الإجابة

hreq = 145,3 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 17,27 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 100·30³/12 = 225000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·3000 = 3000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·225000/3000² = 17272 N = 17,27 kN

الإجابة

Pcr = 17,27 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σcr = 6,747 MPa

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²
r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm
KL = 1·4000 = 4000 mm
KL/r = 4000/12,5 = 320

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/320² = 6,747 MPa

الإجابة

σcr = 6,747 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis