تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP₁ = 35 kN عند 2 mP₂ = 50 kN عند 3,5 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 10 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 6 m من A وحملًا مركّزًا Q على بعد 2 m من A. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

AC = 3 mAD = 10 mP = 35 kN عند 6 mQ = 65 kN عند 2 m

M_A = kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9,5 mP₁ = 75 kN عند 5 mP₂ = 35 kN عند 9,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m

M_x = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة x_c من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 5 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 mركيزتان عند x = 0 و x = 4 m

x_c = m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 20 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kNالحمل الأفقي = 30 kN →

F_BC = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 3 kNw = 4 kN/mL = 6 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 160 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل R_B عند الركيزة الساندة.

L = 5 mw = 15 kN/m

R_B = kN

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. يجب أن يحمل 70 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 70 kNn = 2L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 49 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 35·2 + 50·3,5

R_B = 245/5 = 49 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 49 = 36 kN

الإجابة

R_B = 49 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 190 kN·m

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

ΣM_C = 0: R_D·7 = 35·3

R_D = 15 kN

V_C = 35 − 15 = 20 kN

الجزء AC

قوة المفصل V_C تؤثّر إلى الأسفل على AC (مساوية ومعاكسة لتأثيرها على CD).

R_A = 65 + 20 = 85 kN

M_A = 65·2 + 20·3 = 190 kN·m

الإجابة

M_A = 190 kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 107,8 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·8 = 75·5 + 35·9,5

R_B = 707,5/8 = 88,44 kN

ΣF_y = 0: R_A = 110 − 88,44 = 21,56 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·5 = 21,56·5 = 107,8 kN·m

الإجابة

M_x = 107,8 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: x_c = 3,75 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 12·5·2,5

R_B = 150/4 = 37,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 60 − 37,5 = 22,5 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = R_A·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2R_A/w.

R_A·x_c − w·x_c²/2 = 0

x_c = 2·22,5/12 = 3,75 m

الإجابة

x_c = 3,75 m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −14,58 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 20·5 → C_y = 12,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 20 − 12,5 = 7,5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/5,831 = 0,5145

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −7,5/0,5145 = −14,58 kN

الإجابة

F_AB = −14,58 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −43,33 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·5 = 40·1 + 30·3 → C_y = 26 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 26 = 14 kN

ΣF_x = 0: A_x = −30 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/5 = 0,6, cos γ = 4/5 = 0,8

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −26/0,6 = −43,33 kN

الإجابة

F_BC = −43,33 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 77,14 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 3000 N, w = 4 N/mm, L = 6000 mm

EI = 1,12 × 10¹³ N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 3000·6000³/(3·1,12 × 10¹³) = 19,29 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 4·6000⁴/(8·1,12 × 10¹³) = 57,86 mm

اجمعها

δ = 19,29 + 57,86 = 77,14 mm

الإجابة

δ = 77,14 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: R_B = 28,13 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δ_load = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة R_B وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار R_BL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

R_B·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → R_B = 3wL/8 = 3·15·5/8 = 28,13 kN

الإجابة

R_B = 28,13 kN

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 324 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·80⁴/64 = 2,011 × 10⁶ mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·2,011 × 10⁶/3500² = 323984 N = 324 kN

الإجابة

P_cr = 324 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 55,21 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2·70000 = 140000 N

KL = 1·1500 = 1500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·140000·1500²/(π³·70000))^(1/4) = 55,21 mm

الإجابة

d = 55,21 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 108,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

مخطط الجسم الحر

الاتزان

الإجابة

الجزء CD

الجزء AC

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

انعدام العزم

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة A

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

وحدات متّسقة

كل حمل منفردًا

اجمعها

الإجابة

أزل الركيزة الساندة

التوافق عند الركيزة الساندة

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر