تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 10 kN/mP = 65 kNABRB​ = ?1 m4 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 10 kN/m عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 1 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 5 mw0 = 10 kN/mP = 65 kN عند 1 m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​RB​ = ?1 m1 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 5 mP = 35 kN عند 1 mw = 10 kN/m من 2 إلى 5 m
RB = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 4 kN/mP = 70 kNAB2,5 m

الكابولي مثبَّت عند A. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P على بعد 2,5 m من A. أوجد عزم الانحناء MA عند الركيزة المثبَّتة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 2,5 mP = 70 kN عند 2,5 mw = 4 kN/m من 0 إلى 2,5 m
MA = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 2 kN/mP = 60 kNABمقطع7 m1 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 7 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 60 kN عند 7 mw = 2 kN/m من 0 إلى 8 mx = 7 m
Mx = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH10 kN35 kN40 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 10 kN ↓D: 35 kN ↓H: 40 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH40 kN35 kN10 kN35 kN20 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

C: 40 kN ↓D: 35 kN ↓F: 10 kN ↓G: 35 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 6 kN/mP = 14 kNABδ3 m

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 14 kNw = 6 kN/mL = 3 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δ = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 3 kN/mABδ5 m

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 125 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/250. أوجد أصغر عمق hreq للمقطع.

w = 3 kN/mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 125 mm
hreq = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 m40 × 50 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 40 × 50 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 65 kNL = 2 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 65 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 65 kNn = 2,5L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 29,67 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·5 = 25 kN
x̄ = 2L/3 = 3,333 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·5 = 25·3,333 + 65·1
RB = 29,67 kN
RA = 90 − 29,67 = 60,33 kN

الإجابة

RB = 29,67 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 28 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 10 kN/mP = 35 kNABRA​RB​1 m1 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·3 = 30 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 35·1 + 10·3·3,5
RB = 140/5 = 28 kN
ΣFy = 0: RA = 65 − 28 = 37 kN

الإجابة

RB = 28 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: MA = −187,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

احتفظ بجزء الطرف الحر

P: −70·2,5 = −175 kN·m
w: −4·2,5²/2 = −12,5 kN·m
MA = −175 − 12,5 = −187,5 kN·m

الإجابة

MA = −187,5 kN·m

الإشارة السالبة تعني التحدّب: شدّ على الوجه العلوي.

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 59,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 2·8 = 16 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 60·7 + 2·8·4
RB = 484/8 = 60,5 kN
ΣFy = 0: RA = 76 − 60,5 = 15,5 kN
w = 2 kN/mP = 60 kNABRA​ = 15,5RB​ = 60,5مقطع7 m1 m

اقطع عند x = 7 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 15,5·7 − 2·7·3,5 = 59,5 kN·m

الإجابة

Mx = 59,5 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 26,25 kN (T), BC: 26,25 kN (T), CD: 58,75 kN (T), DE: 58,75 kN (T), FG: 42,5 kN (C), GH: 42,5 kN (C), AF: 37,12 kN (C), HE: 83,09 kN (C), BF: 10 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), FC: 22,98 kN (T), HC: 22,98 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو BF

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة B

يقع AB وBC على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا BF.

ΣF⊥ = 0 → FBF = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 25,31 kN (T), BC: 25,31 kN (T), CD: 44,69 kN (T), DE: 44,69 kN (T), FG: 83,13 kN (C), GH: 83,13 kN (C), AF: 75,52 kN (C), HE: 74,48 kN (C), BF: 0, CG: 35 kN (C), DH: 35 kN (T), FC: 63,02 kN (T), HC: 30,73 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: BF
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 31,76 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 14000 N, w = 6 N/mm, L = 3000 mm
EI = 5,88 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δP = PL³/(3EI) = 14000·3000³/(3·5,88 × 10¹²) = 21,43 mm
δw = wL⁴/(8EI) = 6·3000⁴/(8·5,88 × 10¹²) = 10,33 mm

اجمعها

δ = 21,43 + 10,33 = 31,76 mm

الإجابة

δ = 31,76 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: hreq = 220 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 3 N/mm, L = 5000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δallow = L/250 = 5000/250 = 20 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

Ireq = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·3·5000⁴/(384·11000·20) = 1,11 × 10⁸ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = Ireq → h = (12·1,11 × 10⁸/125)1/3 = 220 mm

الإجابة

hreq = 220 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 8,225 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 50·40³/12 = 266667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·4000 = 8000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·266667/8000² = 8225 N = 8,225 kN

الإجابة

Pcr = 8,225 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 55,36 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2,5·65000 = 162500 N
KL = 0,7·2000 = 1400 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·162500·1400²/(π³·70000))^(1/4) = 55,36 mm

الإجابة

d = 55,36 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 101,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis