تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 6 kN/mP = 65 kNABRA​ = ?2 m8 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا يرتفع من الصفر عند A إلى 6 kN/m عند B. يؤثّر أيضًا حمل مركّز P على بعد 2 m من A. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 10 mw0 = 6 kN/mP = 65 kN عند 2 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​RB​ = ?7 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mP = 20 kN عند 7 mw = 6 kN/m من 0 إلى 8 m
RB = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
45 kN30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

45 kN @ 1 m30 kN @ 3 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
50 kN35 kN40 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

50 kN @ 0 m35 kN @ 6 m40 kN @ 4 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH15 kN40 kN10 kN4 × 4 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 15 kN ↓G: 40 kN ↓H: 10 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH25 kN10 kN40 kN20 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓D: 10 kN ↓H: 40 kN ↓H: 20 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 13 kNABδ0,5 m1,5 m

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 0,5 m من A. أوجد الترخيم δB عند الطرف الحر B.

P = 13 kNa = 0,5 mL = 2 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 15 kN/mAB4 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. EI ثابت. أوجد مقدار عزم الانحناء MA عند الطرف المثبَّت.

L = 4 mw = 15 kN/m
MA = kN·m
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 m40 × 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 40 × 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 40 kNL = 5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت الطرفين. يجب أن يحمل 40 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 40 kNn = 3L = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 62 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·6·10 = 30 kN
x̄ = 2L/3 = 6,667 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·10 = 30·6,667 + 65·2
RB = 33 kN
RA = 95 − 33 = 62 kN

الإجابة

RA = 62 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 41,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 6 kN/mP = 20 kNABRA​RB​7 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 6·8 = 48 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m
ΣMA = 0: RB·8 = 20·7 + 6·8·4
RB = 332/8 = 41,5 kN
ΣFy = 0: RA = 68 − 41,5 = 26,5 kN

الإجابة

RB = 41,5 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 52,5 kN, R2 = 22,5 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 52,5, MC = 60, MD = 67,5 kN·m, ME = 45, MF = 22,5, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 67,5 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: B (x = 1 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 63,75 kN, R2 = 61,25 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = −50 kN·m, MC = −36,25, MD = −22,5, ME = −8,75, MF = −35, MG = 0

الإجابة

علامة B: MB = −50 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو DH

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة D

يقع CD وDE على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا DH.

ΣF⊥ = 0 → FDH = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 33,75 kN (T), BC: 33,75 kN (T), CD: 31,25 kN (T), DE: 31,25 kN (T), FG: 52,5 kN (C), GH: 52,5 kN (C), AF: 47,73 kN (C), HE: 44,19 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 40 kN (C), DH: 0, FC: 26,52 kN (T), HC: 30,05 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: DH
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 8,437 kN (T), BC: 18,12 kN (T), CD: 18,12 kN (T), DE: 27,81 kN (T), FG: 28,44 kN (C), GH: 47,81 kN (C), AF: 47,4 kN (C), HE: 46,35 kN (C), BF: 37,92 kN (T), CG: 0, DH: 2,917 kN (C), BG: 16,15 kN (C), DG: 16,15 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δB = 31,86 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 13000 N, a = 500 mm, L = 2000 mm
EI = 9,35 × 10¹⁰ N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δP = Pa³/(3EI) = 5,793 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,01738 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 31,86 mm

الإجابة

δB = 31,86 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: MA = 30 kN·m

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = wL⁴/(8EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = wL⁴/(8EI) → RB = 3wL/8 = 3·15·4/8 = 22,5 kN

العزم عند الطرف المثبَّت

عزوم الأحمال وقوة الركيزة الساندة حول A.

MA = wL²/2 − RB·L = 120 − 90 = 30 kN·m

الإجابة

MA = 30 kN·m
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 37,6 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 80·40³/12 = 426667 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·4000 = 2800 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·70000·426667/2800² = 37598 N = 37,6 kN

الإجابة

Pcr = 37,6 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 52,75 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 3·40000 = 120000 N
KL = 0,5·5000 = 2500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·120000·2500²/(π³·200000))^(1/4) = 52,75 mm

الإجابة

d = 52,75 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 189,6، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis