تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة مسمار في A وبكرة في B على بعد 4,5 m من A، وتبرز بعد B حتى الطرف الحر C. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_A، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

AB = 4,5 mAC = 6 mP₁ = 25 kN عند 0,5 mP₂ = 15 kN عند 6 m

R_A = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. يؤثّر حمل P على بعد 2,5 m من A، مائلًا بزاوية 45° عن الأفق، ويؤثّر حمل رأسي Q على بعد 5 m من A. أوجد مقدار قوة ردّ الفعل الكلية R_A عند المسمار A.

L = 6 mP = 80 kN عند 2,5 m, θ = 45°Q = 20 kN عند 5 m

R_A = kN

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1,5 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P₁ بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P₂ عند C. أوجد عزم الانحناء M_x تحت الحمل P₁. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 7,5 mP₁ = 65 kN عند 1,5 mP₂ = 80 kN عند 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 6 m

M_x = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 4 mP = 65 kN عند 2 mw = 5 kN/m من 0 إلى 4 m

M_max = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 4 mالارتفاع = 2 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kN

F_AC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

H: 20 kN ←

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله. أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

w = 6 kN/mL = 2,5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة خشبية بسيطة الارتكاز ذات مقطع مستطيل عرضه 75 mm تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. لا يجوز أن يتجاوز ترخيم منتصفها البحر/360. أوجد أصغر عمق h_req للمقطع.

w = 2,5 kN/mL = 4 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)b = 75 mm

h_req = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 40 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 115 kN بمعامل أمان 2,5 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 115 kNn = 2,5L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)

d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 17,22 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·4,5 = 25·0,5 + 15·6

R_B = 102,5/4,5 = 22,78 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 25 + 15 − 22,78 = 17,22 kN

الإجابة

R_A = 17,22 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_A = 67,23 kN

مركّبتا P

P_v = 80·sin 45° = 56,57 kN

P_h = 80·cos 45° = 56,57 kN

ردود الأفعال

ΣM_A = 0: R_B·6 = 56,57·2,5 + 20·5 → R_B = 40,24 kN

A_y = 56,57 + 20 − 40,24 = 36,33 kN

A_x = P_h = 56,57 kN

المحصّلة عند A

R_A = √(56,57² + 36,33²) = 67,23 kN

الإجابة

R_A = 67,23 kN

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 43,13 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 65·1,5 + 80·7,5

R_B = 697,5/6 = 116,3 kN

ΣF_y = 0: R_A = 145 − 116,3 = 28,75 kN

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر

M_x = R_A·1,5 = 28,75·1,5 = 43,13 kN·m

الإجابة

M_x = 43,13 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·4 = 20 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m

ΣM_A = 0: R_B·4 = 65·2 + 5·4·2

R_B = 170/4 = 42,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 85 − 42,5 = 42,5 kN

أين يكون V = 0؟

V(2⁻) = R_A − w·2 = 32,5 kN

V(2⁺) = 32,5 − 65 = −32,5 kN

يتغيّر القص في إشارته عند الحمل، لذا يقع الحد الأقصى تحت الحمل.

أقصى عزم

M_max = R_A·2 − w·2²/2 = 42,5·2 − 5·2²/2 = 75 kN·m

الإجابة

M_max = 75 kN·m

يقع عند x = 2 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AC = 16,88 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·4 = 45·3 → C_y = 33,75 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 33,75 = 11,25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 2/2,236 = 0,8944, cos γ = 1/2,236 = 0,4472

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −33,75/0,8944 = −37,73 kN

ΣF_x = 0: −F_AC − F_BC·cos γ = 0 → F_AC = −(−37,73)·0,4472 = 16,88 kN

الإجابة

F_AC = 16,88 kN (شدّ)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 15 kN (C), BC: 10 kN (C), CD: 10 kN (C), DE: 5 kN (C), FG: 5 kN (C), GH: 15 kN (C), AF: 7,071 kN (C), HE: 7,071 kN (T), BF: 5 kN (T), CG: 0, DH: 5 kN (C), BG: 7,071 kN (C), DG: 7,071 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 73,98 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 6 N/mm, L = 2500 mm

EI = 3,96 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم

δ = wL⁴/(8EI) = 6·2500⁴/(8·3,96 × 10¹¹) = 73,98 mm

الإجابة

δ = 73,98 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: h_req = 221,8 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 2,5 N/mm, L = 4000 mm, E = 11000 N/mm²

حدّ الترخيم

δ_allow = L/360 = 4000/360 = 11,11 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I_req = 5wL⁴/(384·E·δ_allow) = 5·2,5·4000⁴/(384·11000·11,11) = 6,818 × 10⁷ mm⁴

العمق المطلوب

bh³/12 = I_req → h = (12·6,818 × 10⁷/75)^1/3 = 221,8 mm

الإجابة

h_req = 221,8 mm

عمليًا، اختر العمق القياسي التالي الأكبر من هذه القيمة.

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 3,473 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·5000 = 5000 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·125664/5000² = 3473 N = 3,473 kN

الإجابة

P_cr = 3,473 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 100,9 mm

الحمل الحرج المطلوب

P_cr = n·P = 2,5·115000 = 287500 N

KL = 0,7·5000 = 3500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·287500·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 100,9 mm

الإجابة

d = 100,9 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 138,7، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis

تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الطريقة

قوة القص وعزم الانحناء

الطريقة

الجملون: طريقة العقد

الطريقة

ترخيم الكمرة

انبعاج الأعمدة

2مسائل تدريبية

3المحاليل

العزوم حول A

الاتزان الرأسي

الإجابة

مركّبتا P

ردود الأفعال

المحصّلة عند A

الإجابة

ردود أفعال الركائز

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

الإجابة

ردود أفعال الركائز

أين يكون V = 0؟

أقصى عزم

الإجابة

ردود أفعال الركائز

العقدة C

الإجابة

العقدة C

تحقق بطريقة العقد

الإجابة

وحدات متّسقة

الترخيم

الإجابة

وحدات متّسقة

حدّ الترخيم

عزم القصور الذاتي المطلوب

العمق المطلوب

الإجابة

أصغر عزم قصور ذاتي

الطول الفعّال

الحمل الحرج

الإجابة

الحمل الحرج المطلوب

حلّ لإيجاد القطر

الإجابة

اقطع تحت P₁ واحتفظ بالجزء الأيسر