تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 2 m من A وازدواجًا باتجاه عقارب الساعة M على بعد 1 m من A. أوجد ردّ الفعل الرأسي R_B، معتبرًا الاتجاه إلى الأعلى موجبًا.

L = 4 mP = 55 kN عند 2 mM = 40 kN·m (باتجاه عقارب الساعة) عند 1 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 4 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 4 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل M_A عند الجدار.

L = 6 mw₀ = 4 kN/mP = 30 kN عند 4 m

M_A = kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 6 mP₁ = 45 kN عند 2 mP₂ = 60 kN عند 4,5 m

M_max = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

25 kN @ 12 m35 kN @ 4 m

1A (x = 0 m)
2B (x = 2 m)
3C (x = 4 m)
4D (x = 6 m)
5E (x = 8 m)
6F (x = 10 m)
7G (x = 12 m)

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 1 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kN

F_BC = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_BC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 45 kNالحمل الأفقي = 25 kN ←

F_BC = kN

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δ_P تحت الحمل.

P = 18 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ_P = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 1,5 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δ_max للكمرة.

P = 15 kNb = 1,5 mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 23 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الألومنيوم مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 1,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)b × h = 50 × 60 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 50 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 37,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

العزوم حول A

عكس عقارب الساعة موجب.

ΣM_A = 0: R_B·4 − 55·2 − 40 = 0

R_B = 150/4 = 37,5 kN

الاتزان الرأسي

R_A = 55 − 37,5 = 17,5 kN

الإجابة

R_B = 37,5 kN

ردّ الفعل السالب يؤثّر إلى الأسفل.

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: M_A = 144 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا R_A وعزم ردّ فعل M_A. ΣF_y = 0 يعطي R_A، والعزوم حول الجدار تعطي M_A = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·4·6 = 12 kN

x̄ = L/3 = 2 m

العزم حول الجدار

M_A = W·x̄ + P·a = 12·2 + 30·4 = 144 kN·m

الإجابة

M_A = 144 kN·m

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 90 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·6 = 45·2 + 60·4,5

R_B = 360/6 = 60 kN

ΣF_y = 0: R_A = 105 − 60 = 45 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·2 = 45·2 = 90 kN·m

تحت P₂: M = R_B·1,5 = 60·1,5 = 90 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 90 kN·m (تحت P₁)

الإجابة

M_max = 90 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: E (x = 8 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R₁ = 5 kN, R₂ = 55 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

M_A = 0, M_B = 10, M_C = 20, M_D = −40, M_E = −100 kN·m, M_F = −50, M_G = 0

الإجابة

علامة E: M_E = −100 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −3,239 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·6 = 10·1 → C_y = 1,667 kN

ΣF_y = 0: A_y = 10 − 1,667 = 8,333 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −1,667/0,5145 = −3,239 kN

الإجابة

F_BC = −3,239 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_BC = −14,58 kN

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 45·3 − 25·3 → C_y = 7,5 kN

ΣF_y = 0: A_y = 45 − 7,5 = 37,5 kN

ΣF_x = 0: A_x = 25 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/5,831 = 0,5145, cos γ = 5/5,831 = 0,8575

ΣF_y = 0: C_y + F_BC·sin γ = 0 → F_BC = −7,5/0,5145 = −14,58 kN

الإجابة

F_BC = −14,58 kN (ضغط)

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_P = 1,607 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 18000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δ_P = Pa²b²/(3EIL) = 18000·3000²·1000²/(3·8,4 × 10¹²·4000) = 1,607 mm

الإجابة

δ_P = 1,607 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 6,81 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 15000 N, b = 1500 mm, L = 5000 mm

EI = 4,6 × 10¹² N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 1500²)/3) = 2754 mm

أقصى ترخيم

δ_max = Pb(L² − b²)^3/2/(9√3·EIL) = 6,81 mm

الإجابة

δ_max = 6,81 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 191,9 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 60·50³/12 = 625000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·1500 = 1500 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·70000·625000/1500² = 191909 N = 191,9 kN

الإجابة

P_cr = 191,9 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 35,25 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·50⁴/64 = 306796 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 1963 mm²

r = √(I/A) = √(306796/1963) = 12,5 mm

KL = 0,7·2500 = 1750 mm

KL/r = 1750/12,5 = 140

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/140² = 35,25 MPa

الإجابة

σ_cr = 35,25 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis