تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدة العودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0, ΣM = 0
حمل منتظم: المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم: M = F·d

الطريقة

ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
استخدم ΣF_y = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم: V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء: σ = M·y/I
مستطيل: I = bh³/12
معامل المقطع: W = I/y_max
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم: M_max = wL²/8

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد: ΣF_x = 0, ΣF_y = 0 at each joint
طريقة المقاطع: ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو: موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0.
طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر: δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز: δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي: δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم: δ = wL⁴/(8EI)
التراكب: δ = δ₁ + δ₂

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر: P_cr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال: K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج: σ_cr = P_cr/A
النحافة: λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 5 mP₁ = 15 kN عند 2 mP₂ = 10 kN عند 4 m

R_B = kN

2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي R_B.

L = 6 mP = 30 kN عند 2,5 mw = 3 kN/m من 0 إلى 3 m

R_B = kN

3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملين مركّزين. أوجد أقصى عزم انحناء M_max في الكمرة.

L = 10 mP₁ = 15 kN عند 3 mP₂ = 40 kN عند 6 m

M_max = kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة

أوجد عزم الانحناء M_x عند المقطع x = 1 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 8 mP = 40 kN عند 1 mw = 3 kN/m من 0 إلى 8 mx = 1 m

M_x = kN·m

5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة F_AB في العضو AB. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 7 m عن Aالحمل الرأسي = 40 kN

F_AB = kN

6.الجملون: طريقة العقدصعبة

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

D: 10 kN ↓F: 20 kN ↓F: 10 kN →G: 40 kN ↓

1العضو AB
2العضو BC
3العضو CD
4العضو DE
5العضو FG
6العضو GH
7العضو AF
8العضو HE
9العضو BF
10العضو CG
11العضو DH
12العضو BG
13العضو DG

7.ترخيم الكمرةمتوسطة

كابولي يحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على طوله كله وحملًا مركّزًا P عند طرفه الحر. باستخدام التراكب، أوجد الترخيم δ عند الطرف الحر.

P = 7 kNw = 8 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 120 × 10⁶ mm⁴

δ = mm

8.ترخيم الكمرةصعبة

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w وحملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. باستخدام التراكب، أوجد ترخيم المنتصف δ_max.

P = 19 kNw = 2 kN/mL = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 36 × 10⁶ mm⁴

δ_max = mm

9.انبعاج الأعمدةمتوسطة

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج P_cr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 20 × 80 mm

P_cr = kN

10.انبعاج الأعمدةصعبة

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت الطرفين. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σ_cr من صيغة أويلر.

L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 30 mm

σ_cr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 14 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣM_A = 0: R_B·5 = 15·2 + 10·4

R_B = 70/5 = 14 kN

ΣF_y = 0: R_A = 25 − 14 = 11 kN

الإجابة

R_B = 14 kN

2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: R_B = 14,75 kN

مخطط الجسم الحر

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·3 = 9 kN، تؤثّر عند x̄ = 1,5 m

ΣM_A = 0: R_B·6 = 30·2,5 + 3·3·1,5

R_B = 88,5/6 = 14,75 kN

ΣF_y = 0: R_A = 39 − 14,75 = 24,25 kN

الإجابة

R_B = 14,75 kN

3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_max = 114 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

ΣM_A = 0: R_B·10 = 15·3 + 40·6

R_B = 285/10 = 28,5 kN

ΣF_y = 0: R_A = 55 − 28,5 = 26,5 kN

العزم تحت كل حمل

احتفظ بالجزء الواقع يسار كل حمل.

تحت P₁: M = R_A·3 = 26,5·3 = 79,5 kN·m

تحت P₂: M = R_B·4 = 28,5·4 = 114 kN·m

أكبر قيمة

M_max = 114 kN·m (تحت P₂)

الإجابة

M_max = 114 kN·m

4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: M_x = 45,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 3·8 = 24 kN، تؤثّر عند x̄ = 4 m

ΣM_A = 0: R_B·8 = 40·1 + 3·8·4

R_B = 136/8 = 17 kN

ΣF_y = 0: R_A = 64 − 17 = 47 kN

اقطع عند x = 1 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = R_A·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)

M_x = 47·1 − 3·1·0,5 = 45,5 kN·m

الإجابة

M_x = 45,5 kN·m

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: F_AB = −12,69 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣF_x = 0 و ΣF_y = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣM_A = 0: C_y·8 = 40·7 → C_y = 35 kN

ΣF_y = 0: A_y = 40 − 35 = 5 kN

العقدة A

افترض أن كل عضو في حالة شدّ (يسحب بعيدًا عن العقدة). فقط AB له مركّبة رأسية عند A.

sin α = 3/7,616 = 0,3939

ΣF_y = 0: A_y + F_AB·sin α = 0

F_AB = −5/0,3939 = −12,69 kN

الإجابة

F_AB = −12,69 kN (ضغط)

6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → F_CG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 45 kN (T), BC: 60 kN (T), CD: 60 kN (T), DE: 35 kN (T), FG: 45 kN (C), GH: 35 kN (C), AF: 49,5 kN (C), HE: 49,5 kN (C), BF: 15 kN (T), CG: 0, DH: 35 kN (T), BG: 21,21 kN (C), DG: 35,36 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG

7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ = 4,127 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 7000 N, w = 8 N/mm, L = 2000 mm

EI = 8,4 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(3EI) = 7000·2000³/(3·8,4 × 10¹²) = 2,222 mm

δ_w = wL⁴/(8EI) = 8·2000⁴/(8·8,4 × 10¹²) = 1,905 mm

اجمعها

δ = 2,222 + 1,905 = 4,127 mm

الإجابة

δ = 4,127 mm

8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δ_max = 1,422 mm

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 19000 N, w = 2 N/mm, L = 2000 mm, EI = 2,52 × 10¹² N·mm²

كل حمل منفردًا

δ_P = PL³/(48EI) = 19000·2000³/(48·2,52 × 10¹²) = 1,257 mm

δ_w = 5wL⁴/(384EI) = 5·2·2000⁴/(384·2,52 × 10¹²) = 0,1653 mm

اجمعها

δ_max = 1,257 + 0,1653 = 1,422 mm

الإجابة

δ_max = 1,422 mm

9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: P_cr = 53,71 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند P_cr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

I_min = h·b³/12 = 80·20³/12 = 53333 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 0,7·2000 = 1400 mm

الحمل الحرج

P_cr = π²EI/(KL)² = π²·200000·53333/1400² = 53712 N = 53,71 kN

الإجابة

P_cr = 53,71 kN

10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σ_cr = 6,218 MPa

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·30⁴/64 = 39761 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 706,9 mm²

r = √(I/A) = √(39761/706,9) = 7,5 mm

KL = 0,5·5000 = 2500 mm

KL/r = 2500/7,5 = 333,3

الإجهاد الحرج

σ_cr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/333,3² = 6,218 MPa

الإجابة

σ_cr = 6,218 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis