تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
w0​ = 15 kN/mABRB​ = ?8 m

الكمرة البسيطة الارتكاز (مسمار في A، بكرة في B) تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا ينخفض من 15 kN/m عند A إلى الصفر عند B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mw0 = 15 kN/m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​ = ?RB​2 m3 m3 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 8 mP = 50 kN عند 2 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 m
RA = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
w = 8 kN/mABمقطع2 m2 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 2 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 4 mw = 8 kN/m من 0 إلى 4 mx = 2 m
Mx = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 10 kN/mP = 75 kNAB5 m1 m

الكمرة البسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله وحملًا مركّزًا P. أوجد أقصى عزم انحناء Mmax في الكمرة.

L = 6 mP = 75 kN عند 5 mw = 10 kN/m من 0 إلى 6 m
Mmax = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABBCACACB55 kN5 m3 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 5 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 3 m عن Aالحمل الرأسي = 55 kN
FAC = kN
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB35 kN20 kN6 m2 m4 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FBC في العضو BC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 6 mالارتفاع = 4 mتبعد B مسافة 2 m عن Aالحمل الرأسي = 35 kNالحمل الأفقي = 20 kN →
FBC = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
w = 5 kN/mδL = 5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w على البحر كله. أوجد أقصى ترخيم δmax عند منتصف البحر.

w = 5 kN/mL = 5 mE = 200 GPa (الفولاذ)I = 36 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
w = 2 kN/mδL = 2,5 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا موزّعًا بانتظام w. لا يجوز أن يتجاوز ترخيمها البحر/360. أوجد أصغر عزم قصور ذاتي Ireq يحقّق هذا الحد.

w = 2 kN/mL = 2,5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
Ireq = × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 4 md = 40 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 4 mE = 200 GPa (الفولاذ)d = 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 50 kNL = 6 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 50 kN بمعامل أمان 2 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 50 kNn = 2L = 6 mE = 200 GPa (الفولاذ)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 20 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·15·8 = 60 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 60·2,667
RB = 20 kN
RA = 60 − 20 = 40 kN

الإجابة

RB = 20 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 78,75 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

w = 12 kN/mP = 50 kNABRA​RB​2 m3 m3 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·8 = 50·2 + 12·5·2,5
RB = 250/8 = 31,25 kN
ΣFy = 0: RA = 110 − 31,25 = 78,75 kN

الإجابة

RA = 78,75 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 16 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 8·4 = 32 kN، تؤثّر عند x̄ = 2 m
ΣMA = 0: RB·4 = 8·4·2
RB = 64/4 = 16 kN
ΣFy = 0: RA = 32 − 16 = 16 kN
w = 8 kN/mABRA​ = 16RB​ = 16مقطع2 m2 m

اقطع عند x = 2 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 16·2 − 8·2·1 = 16 kN·m

الإجابة

Mx = 16 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mmax = 90,31 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 10·6 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 3 m
ΣMA = 0: RB·6 = 75·5 + 10·6·3
RB = 555/6 = 92,5 kN
ΣFy = 0: RA = 135 − 92,5 = 42,5 kN

أين يكون V = 0؟

RA − w·x0 = 0 → x0 = 42,5/10 = 4,25 m

أقصى عزم

Mmax = RA·x0 − w·x0²/2 = 42,5·4,25 − 10·4,25²/2 = 90,31 kN·m

الإجابة

Mmax = 90,31 kN·m

يقع عند x = 4,25 m من A.

5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 22 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB55 kNAy​Cy​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·5 = 55·3 → Cy = 33 kN
ΣFy = 0: Ay = 55 − 33 = 22 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/3,606 = 0,8321, cos γ = 2/3,606 = 0,5547
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −33/0,8321 = −39,66 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−39,66)·0,5547 = 22 kN

الإجابة

FAC = 22 kN (شدّ)
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FBC = −35,36 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB35 kN20 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·6 = 35·2 + 20·4 → Cy = 25 kN
ΣFy = 0: Ay = 35 − 25 = 10 kN
ΣFx = 0: Ax = −20 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 4/5,657 = 0,7071, cos γ = 4/5,657 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −25/0,7071 = −35,36 kN

الإجابة

FBC = −35,36 kN (ضغط)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 5,651 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

w = 5 N/mm, L = 5000 mm
EI = 7,2 × 10¹² N·mm²

الترخيم

δmax = 5wL⁴/(384EI) = 5·5·5000⁴/(384·7,2 × 10¹²) = 5,651 mm

الإجابة

δmax = 5,651 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

حدّ الترخيم

δallow = L/360 = 2500/360 = 6,944 mm

عزم القصور الذاتي المطلوب

I = 5wL⁴/(384·E·δallow) = 5·2·2500⁴/(384·70000·6,944) = 2,093 × 10⁶ mm⁴
Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴

الإجابة

Ireq = 2,093 × 10⁶ mm⁴
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 15,5 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·40⁴/64 = 125664 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·4000 = 4000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·125664/4000² = 15503 N = 15,5 kN

الإجابة

Pcr = 15,5 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 65,32 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 2·50000 = 100000 N
KL = 0,7·6000 = 4200 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·100000·4200²/(π³·200000))^(1/4) = 65,32 mm

الإجابة

d = 65,32 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 257,2، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis