تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 20 kNP2​ = 35 kNABRA​ = ?RB​3 m6 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RA.

L = 10 mP1 = 20 kN عند 3 mP2 = 35 kN عند 9 m
RA = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w0​ = 10 kN/mP = 35 kNABMA​ = ?8 m

الكمرة الكابولية مثبَّتة في الجدار عند A. تحمل حملًا متغيّرًا خطيًا شدته 10 kN/m عند الجدار وينخفض إلى الصفر عند الطرف الحر B، إضافةً إلى حمل مركّز P على بعد 8 m من الجدار. أوجد مقدار عزم ردّ الفعل MA عند الجدار.

L = 8 mw0 = 10 kN/mP = 35 kN عند 8 m
MA = kN·m
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
P1​ = 80 kNP2​ = 70 kNABC7 m1 m1 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 1 m حتى الطرف الحر C. تحمل حملًا مركّزًا P1 بين الركيزتين وحملًا مركّزًا P2 عند C. أوجد عزم الانحناء Mx تحت الحمل P1. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية (التقعّر) موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 9 mP1 = 80 kN عند 7 mP2 = 70 kN عند 9 mركيزتان عند x = 0 و x = 8 m
Mx = kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 12 kN/mP = 15 kNABمقطع2 m2,5 m0,5 m

أوجد عزم الانحناء Mx عند المقطع x = 4,5 m من الركيزة A. اعتبر العزوم التي تشدّ الألياف السفلية موجبة، وقوة القص إلى الأعلى على الوجه الأيسر موجبة.

L = 5 mP = 15 kN عند 2 mw = 12 kN/m من 0 إلى 5 mx = 4,5 m
Mx = kN·m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH30 kN4 × 3 m3 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 30 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABCDEFGH25 kN15 kN20 kN15 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

B: 25 kN ↓D: 15 kN ↓F: 20 kN ↓H: 15 kN ←
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو FC
  13. 13العضو HC
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 21 kNABδ3 m1 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 3 m من الركيزة A. أوجد الترخيم δP تحت الحمل.

P = 21 kNa = 3 mL = 4 mE = 70 GPa (الألومنيوم)I = 8,5 × 10⁶ mm⁴
δP = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
P = 15 kNAB2,5 m2,5 m

كابولي مسنود مثبَّت عند A ومرتكز ارتكازًا بسيطًا (مسنود) عند B. يحمل حملًا مركّزًا P عند منتصف البحر. EI ثابت. أوجد ردّ الفعل RB عند الركيزة الساندة.

L = 5 mP = 15 kN عند 2,5 m
RB = kN
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 1 m30 × 40 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مثبَّت عند القاعدة وحرّ عند القمة. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 1 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 40 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
PL = 2 md = 25 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. أوجد نحافته وإجهاد الانبعاج الحرج σcr من صيغة أويلر.

L = 2 mE = 70 GPa (الألومنيوم)d = 25 mm
σcr = MPa

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RA = 17,5 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 20 kNP2​ = 35 kNABRA​RB​3 m6 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·10 = 20·3 + 35·9
RB = 375/10 = 37,5 kN
ΣFy = 0: RA = 55 − 37,5 = 17,5 kN

الإجابة

RA = 17,5 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: MA = 386,7 kN·m

اتزان الكابولي: الركيزة المثبَّتة تستطيع الدفع إلى الأعلى ومقاومة الدوران أيضًا، لذا تعطي ردّ فعل رأسيًا RA وعزم ردّ فعل MA. ΣFy = 0 يعطي RA، والعزوم حول الجدار تعطي MA = Σ(الحمل × البعد عن الجدار). الحمل الموزّع يؤثّر كمحصّلته في مركز مخطط الحمل.

محصّلة الحمل المثلثي

W = ½·10·8 = 40 kN
x̄ = L/3 = 2,667 m

العزم حول الجدار

MA = W·x̄ + P·a = 40·2,667 + 35·8 = 386,7 kN·m

الإجابة

MA = 386,7 kN·m
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 8,75 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها. حمل الجزء البارز يؤثّر أيضًا بعزم حول A.

ΣMA = 0: RB·8 = 80·7 + 70·9
RB = 1190/8 = 148,8 kN
ΣFy = 0: RA = 150 − 148,8 = 1,25 kN

اقطع تحت P1 واحتفظ بالجزء الأيسر

Mx = RA·7 = 1,25·7 = 8,75 kN·m

الإجابة

Mx = 8,75 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: Mx = 16,5 kN·m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 12·5 = 60 kN، تؤثّر عند x̄ = 2,5 m
ΣMA = 0: RB·5 = 15·2 + 12·5·2,5
RB = 180/5 = 36 kN
ΣFy = 0: RA = 75 − 36 = 39 kN
w = 12 kN/mP = 15 kNABRA​ = 39RB​ = 36مقطع2 m2,5 m0,5 m

اقطع عند x = 4,5 m واحتفظ بالجزء الأيسر

تظهر فقط القوى الواقعة يسار المقطع. جزء الحمل الموزّع يعمل كقوة واحدة في منتصف ذلك الجزء.

M = RA·x − (كل حمل على يسار المقطع × بعده عن المقطع)
Mx = 39·4,5 − 15·(4,5 − 2) − 12·4,5·2,25 = 16,5 kN·m

الإجابة

Mx = 16,5 kN·m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 22,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 31,82 kN (C), HE: 10,61 kN (C), BF: 7,5 kN (C), CG: 0, DH: 7,5 kN (T), BG: 10,61 kN (T), DG: 10,61 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة G

يقع FG وGH على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 16,88 kN (T), BC: 16,88 kN (T), CD: 13,12 kN (T), DE: 13,12 kN (T), FG: 30 kN (C), GH: 30 kN (C), AF: 53,13 kN (C), HE: 21,88 kN (C), BF: 25 kN (T), CG: 0, DH: 15 kN (T), FC: 3,125 kN (C), HC: 3,125 kN (T)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δP = 26,47 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 21000 N, a = 3000 mm, b = 1000 mm, L = 4000 mm
EI = 5,95 × 10¹¹ N·mm²

الترخيم تحت الحمل

δP = Pa²b²/(3EIL) = 21000·3000²·1000²/(3·5,95 × 10¹¹·4000) = 26,47 mm

الإجابة

δP = 26,47 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: RB = 4,688 kN

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب). في الكمرة غير المحدّدة استاتيكيًا، أزل ركيزة زائدة واشترط أن يكون الترخيم هناك صفرًا (التوافق).

أزل الركيزة الساندة

بدون الركيزة الساندة تكون الكمرة كابوليًا. وكان طرفها الحر سيترخّم تحت الحمل.

δload = P(L/2)²(3L − L/2)/(6EI) = 5PL³/(48EI)

التوافق عند الركيزة الساندة

قوة الركيزة الساندة RB وحدها ترفع الطرف الحر بمقدار RBL³/(3EI). الركيزة الساندة تُبقي ترخيم B صفرًا، لذا يجب أن يلغي أحدهما الآخر. ويُختصر EI.

RB·L³/(3EI) = 5PL³/(48EI) → RB = 5P/16 = 5·15/16 = 4,688 kN

الإجابة

RB = 4,688 kN
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 44,41 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 40·30³/12 = 90000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 2·1000 = 2000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·90000/2000² = 44413 N = 44,41 kN

الإجابة

Pcr = 44,41 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: σcr = 13,77 MPa

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

للمقطع الدائري I نفسه حول أي محور.

I = πd⁴/64 = π·25⁴/64 = 19175 mm⁴

نصف قطر الدوران والنحافة

A = 490,9 mm²
r = √(I/A) = √(19175/490,9) = 6,25 mm
KL = 0,7·2000 = 1400 mm
KL/r = 1400/6,25 = 224

الإجهاد الحرج

σcr = π²E/(KL/r)² = π²·70000/224² = 13,77 MPa

الإجابة

σcr = 13,77 MPa

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis