تحليل المنشآت: حزمة المراجعة المكثفة

أوراق القوانين، وأهم خطوات الحل لكل موضوع، و10 مسألة تدريبية، مع الحلول الكاملة في الخلف.

مسائل جديدةالعودة إلى المقرّر

في نافذة الطباعة اختر «حفظ بصيغة PDF» لحفظ نسخة على جهازك.

1القوانين وطرق الحل

ردود أفعال ركائز الكمرات

الاتزان
ΣFx = 0, ΣFy = 0, ΣM = 0
حمل منتظم
المحصّلة w·L في منتصف الحمل
العزم
M = F·d

الطريقة

  1. ارسم مخطط الجسم الحر واستبدل كل ركيزة بردود أفعالها.
  2. استبدل كل حمل موزّع بقوة واحدة عند مركزه.
  3. خذ العزوم حول ركيزة واحدة لإيجاد ردّ الفعل عند الأخرى.
  4. استخدم ΣFy = 0 لإيجاد ردّ الفعل المتبقي، وتحقّق بمعادلة عزوم ثانية.

قوة القص وعزم الانحناء

القص والعزم
V = ΣF على جانب واحد، M = ΣF·d على جانب واحد
إجهاد الانحناء
σ = M·y/I
مستطيل
I = bh³/12
معامل المقطع
W = I/ymax
بسيطة الارتكاز، حمل منتظم
Mmax = wL²/8

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز من اتزان الكمرة كلها.
  2. اقطع الكمرة عند المقطع المطلوب واحتفظ بجانب واحد.
  3. قوة القص: مجموع القوى الرأسية على ذلك الجانب. عزم الانحناء: مجموع عزومها حول المقطع.
  4. لإيجاد أقصى عزم، أوجد الموضع الذي تنعدم فيه قوة القص.

الجملون: طريقة العقد

طريقة العقد
ΣFx = 0, ΣFy = 0 at each joint
طريقة المقاطع
ΣM = 0 about a cut point
قوة العضو
موجب = شدّ، سالب = ضغط

الطريقة

  1. أوجد ردود أفعال الركائز للجملون كله.
  2. طريقة العقد: ابدأ بعقدة فيها قوتا عضوين مجهولتان على الأكثر واستخدم ΣFx = 0 و ΣFy = 0.
  3. طريقة المقاطع: اقطع عبر العضو المطلوب وخذ العزوم حول نقطة تلتقي فيها الأعضاء المجهولة الأخرى.
  4. افترض الشدّ؛ الإجابة السالبة تعني الضغط.

ترخيم الكمرة

حمل مركّز في منتصف البحر
δ = PL³/(48EI)
حمل منتظم، كمرة بسيطة الارتكاز
δ = 5wL⁴/(384EI)
كابولي، حمل طرفي
δ = PL³/(3EI)
كابولي، حمل منتظم
δ = wL⁴/(8EI)
التراكب
δ = δ1 + δ2

انبعاج الأعمدة

حمل أويلر
Pcr = π²EI/(KL)²
معامل الطول الفعّال
K = 1 مفصلي–مفصلي، 0,5 مثبَّت–مثبَّت، 0,7 مثبَّت–مفصلي، 2 مثبَّت–حرّ
الإجهاد الحرج
σcr = Pcr/A
النحافة
λ = KL/r, r = √(I/A)

2مسائل تدريبية

1.ردود أفعال ركائز الكمراتمتوسطة
P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​ = ?5 m2 m1 m

للكمرة البسيطة الارتكاز مسمار في A وبكرة في B. أوجد ردّ فعل الركيزة الرأسي RB.

L = 8 mP1 = 15 kN عند 5 mP2 = 10 kN عند 7 m
RB = kN
2.ردود أفعال ركائز الكمراتصعبة
w = 10 kN/mP = 10 kNQ = 40 kNADCRD​ = ?1 m2 m1 m2 m

كمرة مركّبة مثبَّتة في الجدار عند A، لها مفصل داخلي عند C (على بعد 3 m من A) وترتكز على بكرة عند D (على بعد 6 m من A). تحمل حملًا مركّزًا P على بعد 4 m من A, حملًا موزّعًا بانتظام w على الجزء CD كله وحملًا مركّزًا Q على بعد 1 m من A. أوجد ردّ الفعل RD عند البكرة.

AC = 3 mAD = 6 mP = 10 kN عند 4 mw = 10 kN/m من 3 إلى 6 mQ = 40 kN عند 1 m
RD = kN
3.قوة القص وعزم الانحناءمتوسطة
10 kN/m30 kNABCDEFG1 m1 m1 m1 m1 m1 m

تقسم العلامات من A إلى G الكمرة إلى ستة أجزاء متساوية. عند أي علامة يكون عزم الانحناء الأكبر حجمًا، تقعيريًا أو تحدبيًا؟ انقر عليها في المخطط.

30 kN @ 3 m10 kN/m, 0–6 m
  1. 1A (x = 0 m)
  2. 2B (x = 1 m)
  3. 3C (x = 2 m)
  4. 4D (x = 3 m)
  5. 5E (x = 4 m)
  6. 6F (x = 5 m)
  7. 7G (x = 6 m)
4.قوة القص وعزم الانحناءصعبة
w = 5 kN/mABC5 m2,5 m

ترتكز الكمرة على مسمار في A وبكرة في B، وتبرز بعد B مسافة 2,5 m حتى الطرف الحر C. يؤثّر حمل موزّع بانتظام w على الطول كله A–C. أوجد المسافة xc من A إلى نقطة انقلاب الانحناء بين الركيزتين (حيث يغيّر عزم الانحناء إشارته).

L = 7,5 mw = 5 kN/m من 0 إلى 7,5 mركيزتان عند x = 0 و x = 5 m
xc = m
5.الجملون: طريقة العقدمتوسطة
ABCDEFGH40 kN4 × 3 m4 m

عضو واحد بالضبط في هذا الجمالون لا يحمل قوة تحت هذه الأحمال. أي عضو هو عضو القوة الصفرية؟ انقر عليه في المخطط.

F: 40 kN ↓
  1. 1العضو AB
  2. 2العضو BC
  3. 3العضو CD
  4. 4العضو DE
  5. 5العضو FG
  6. 6العضو GH
  7. 7العضو AF
  8. 8العضو HE
  9. 9العضو BF
  10. 10العضو CG
  11. 11العضو DH
  12. 12العضو BG
  13. 13العضو DG
6.الجملون: طريقة العقدصعبة
ABBCACACB10 kN15 kN8 m5 m3 m

استخدم طريقة العقد لإيجاد القوة FAC في العضو AC. اجعل الشدّ موجبًا والضغط سالبًا.

البحر = 8 mالارتفاع = 3 mتبعد B مسافة 5 m عن Aالحمل الرأسي = 10 kNالحمل الأفقي = 15 kN ←
FAC = kN
7.ترخيم الكمرةمتوسطة
P = 30 kNABδ0,5 m2,5 m

كابولي طوله L مثبَّت عند A ويحمل حملًا مركّزًا P على بعد a = 0,5 m من A. أوجد الترخيم δB عند الطرف الحر B.

P = 30 kNa = 0,5 mL = 3 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 120 × 10⁶ mm⁴
δB = mm
8.ترخيم الكمرةصعبة
P = 2 kNABδ3 m2 m

كمرة بسيطة الارتكاز تحمل حملًا مركّزًا P على بعد b = 2 m من الركيزة B. أوجد أقصى ترخيم δmax للكمرة.

P = 2 kNb = 2 mL = 5 mE = 11 GPa (خشب إنشائي)I = 84 × 10⁶ mm⁴
δmax = mm
9.انبعاج الأعمدةمتوسطة
PL = 2 m30 × 80 mmالمقطع العرضي

عمود طوله L من الفولاذ مفصلي الطرفين. باستخدام صيغة أويلر أوجد حمل الانبعاج الحرج Pcr.

L = 2 mE = 200 GPa (الفولاذ)b × h = 30 × 80 mm
Pcr = kN
10.انبعاج الأعمدةصعبة
P = 95 kNL = 5 md = ?المقطع العرضي

عمود دائري مصمت طوله L من الألومنيوم مثبَّت عند القاعدة ومفصلي عند القمة. يجب أن يحمل 95 kN بمعامل أمان 3 ضد الانبعاج. أوجد أصغر قطر d.

P = 95 kNn = 3L = 5 mE = 70 GPa (الألومنيوم)
d = mm

3المحاليل

1.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RB = 18,13 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. أخذ العزوم حول ركيزة يحذف ردّ فعلها من المعادلة.

P1​ = 15 kNP2​ = 10 kNABRA​RB​5 m2 m1 m

مخطط الجسم الحر

استبدل الركائز بقوى ردّ الفعل. البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا واحدًا؛ ومع الأحمال الرأسية فقط يعطي المسمار أيضًا ردّ فعل رأسيًا واحدًا.

الاتزان

العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة. ثم اتزان القوى الرأسية.

ΣMA = 0: RB·8 = 15·5 + 10·7
RB = 145/8 = 18,13 kN
ΣFy = 0: RA = 25 − 18,13 = 6,875 kN

الإجابة

RB = 18,13 kN
2.ردود أفعال ركائز الكمرات

الإجابة: RD = 18,33 kN

الاتزان الاستاتيكي: الجسم الساكن يحقّق ΣFx = 0 و ΣFy = 0 و ΣM = 0 حول أي نقطة. استبدل كل حمل موزّع بمحصّلته (مساحته) المؤثّرة في مركز مخطط الحمل، وخذ العزوم حول ركيزة لحذف ردّ فعلها من المعادلة. المفصل الداخلي لا يستطيع نقل عزم انحناء، وهذا يعطي معادلة إضافية: عزم القوى على أيٍّ من الجانبين حول المفصل يساوي صفرًا.

الجزء CD

المفصل ليس له عزم، لذا يجب أن تتوازن العزوم حول C على CD وحده.

W = 10·3 = 30 kN عند 1,5 m من C
ΣMC = 0: RD·3 = 10·1 + 30·1,5
RD = 18,33 kN
VC = 40 − 18,33 = 21,67 kN

الإجابة

RD = 18,33 kN
3.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: D (x = 3 m)

أكبر عزم انحناء: يغير M ميله حيث تتغير قوة القص، لذا تقع قممه حيث تعبر قوة القص الصفر: تحت حمل نقطي، أو داخل حمل موزع، أو فوق مسند في كمرة ذات بروز. وعند المسند الثابت في كمرة كابولية يكون العزم أكبر ما يمكن عند الجدار. قارن حجم M في تلك المواضع، تقعيريًا كان أم تحدبيًا.

ردود أفعال الركائز

خذ العزوم حول أحد المسندين، ثم استخدم اتزان القوى الرأسية.

R1 = 45 kN, R2 = 45 kN

عزم الانحناء عند كل علامة

اجمع عزوم كل القوى على جانب واحد من القطع. التقعيري موجب والتحدبي سالب.

MA = 0, MB = 40, MC = 70, MD = 90 kN·m, ME = 70, MF = 40, MG = 0

الإجابة

علامة D: MD = 90 kN·m
4.قوة القص وعزم الانحناء

الإجابة: xc = 3,75 m

طريقة المقاطع: اقطع الكمرة حيث تريد القوى الداخلية واحتفظ بجانب واحد. توازن قوة القص V القوى الرأسية على ذلك الجانب، ويوازن عزم الانحناء M عزومها حول المقطع. أقصى عزم: بما أن dM/dx = V، يبلغ عزم الانحناء ذروته حيث تمرّ قوة القص بالصفر، إمّا عند حمل مركّز أو داخل حمل موزّع.

ردود أفعال الركائز

اتزان الكمرة كلها، بما في ذلك الحمل على الجزء البارز.

محصّلة الحمل الموزّع: W = w·ℓ = 5·7,5 = 37,5 kN، تؤثّر عند x̄ = 3,75 m
ΣMA = 0: RB·5 = 5·7,5·3,75
RB = 140,6/5 = 28,13 kN
ΣFy = 0: RA = 37,5 − 28,13 = 9,375 kN

انعدام العزم

بين الركيزتين M(x) = RA·x − w·x²/2. وبخلاف x = 0 يكون صفرًا عند x = 2RA/w.

RA·xc − w·xc²/2 = 0
xc = 2·9,375/5 = 3,75 m

الإجابة

xc = 3,75 m
5.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: العضو CG

أعضاء القوة الصفرية: عند عقدة يجب أن تتزن القوى في كل اتجاه. إذا لم يكن على العقدة حمل ولا مسند، وكان عضوان من أعضائها الثلاثة على استقامة واحدة، فإن الاتزان في الاتجاه المتعامد مع ذلك الخط لا يشمل إلا العضو الثالث، فتكون قوته صفرًا. وإذا التقى عضوان فقط عند عقدة غير محملة ولم يكونا على استقامة واحدة فكلاهما صفر.

العقدة C

يقع BC وCD على خط مستقيم واحد ولا تحمل العقدة حملًا. اتزان القوى عبر ذلك الخط لا يُبقي إلا CG.

ΣF⊥ = 0 → FCG = 0

تحقق بطريقة العقد

حل كل العقد يعطي قوى الأعضاء هذه (T = شد، C = ضغط).

AB: 22,5 kN (T), BC: 15 kN (T), CD: 15 kN (T), DE: 7,5 kN (T), FG: 22,5 kN (C), GH: 7,5 kN (C), AF: 37,5 kN (C), HE: 12,5 kN (C), BF: 10 kN (C), CG: 0, DH: 10 kN (T), BG: 12,5 kN (T), DG: 12,5 kN (C)

الإجابة

عضو القوة الصفرية: CG
6.الجملون: طريقة العقد

الإجابة: FAC = 0,625 kN

طريقة العقد: كل عقدة في الجملون في حالة اتزان، لذا ΣFx = 0 و ΣFy = 0 عند كل عقدة. ابدأ بعقدة فيها قوتان مجهولتان على الأكثر. النتيجة السالبة تعني أن العضو في حالة ضغط.

ABBCACACB10 kN15 kNAy​Cy​Ax​

ردود أفعال الركائز

اتزان الجملون كله. العزوم حول A، موجبة عكس عقارب الساعة.

ΣMA = 0: Cy·8 = 10·5 − 15·3 → Cy = 0,625 kN
ΣFy = 0: Ay = 10 − 0,625 = 9,375 kN
ΣFx = 0: Ax = 15 kN

العقدة C

البكرة تعطي ردّ فعل رأسيًا فقط، لذا في العقدة C قوتان مجهولتان فقط. افترض أن كليهما في حالة شدّ.

sin γ = 3/4,243 = 0,7071, cos γ = 3/4,243 = 0,7071
ΣFy = 0: Cy + FBC·sin γ = 0 → FBC = −0,625/0,7071 = −0,8839 kN
ΣFx = 0: −FAC − FBC·cos γ = 0 → FAC = −(−0,8839)·0,7071 = 0,625 kN

الإجابة

FAC = 0,625 kN (شدّ)
7.ترخيم الكمرة

الإجابة: δB = 8,049 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 30000 N, a = 500 mm, L = 3000 mm
EI = 1,32 × 10¹² N·mm²

الترخيم عند الطرف الحر

الترخيم عند الحمل زائد الميل عند الحمل مضروبًا في الطول المتبقي.

δP = Pa³/(3EI) = 0,947 mm
θP = Pa²/(2EI) = 0,002841 rad
δB = δP + θP·(L − a) = Pa²(3L − a)/(6EI) = 8,049 mm

الإجابة

δB = 8,049 mm
8.ترخيم الكمرة

الإجابة: δmax = 5,345 mm

ترخيم الكمرات: يُحسب الترخيم بتكامل الانحناء M/(EI) مرتين. الحالات القياسية مجدولة، مثل PL³/(3EI) لكابولي بحمل طرفي و 5wL⁴/(384EI) لكمرة بسيطة الارتكاز تحت حمل منتظم كامل. تُجمع ترخيمات الأحمال المنفصلة (التراكب).

وحدات متّسقة

اعمل بالـ N و mm: P بالـ N، w بالـ N/mm (kN/m = N/mm)، L بالـ mm، E بالـ N/mm² (GPa × 1000)، I بالـ mm⁴.

P = 2000 N, b = 2000 mm, L = 5000 mm
EI = 9,24 × 10¹¹ N·mm²

موضع الحد الأقصى

جعل الميل في الجزء الأطول صفرًا يعطي الموضع.

x = √((L² − b²)/3) = √((5000² − 2000²)/3) = 2646 mm

أقصى ترخيم

δmax = Pb(L² − b²)3/2/(9√3·EIL) = 5,345 mm

الإجابة

δmax = 5,345 mm
9.انبعاج الأعمدة

الإجابة: Pcr = 88,83 kN

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

أصغر عزم قصور ذاتي

ينبعج المستطيل حول محوره الضعيف، باستخدام مكعّب البُعد الأصغر.

Imin = h·b³/12 = 80·30³/12 = 180000 mm⁴

الطول الفعّال

KL = 1·2000 = 2000 mm

الحمل الحرج

Pcr = π²EI/(KL)² = π²·200000·180000/2000² = 88826 N = 88,83 kN

الإجابة

Pcr = 88,83 kN
10.انبعاج الأعمدة

الإجابة: d = 100,7 mm

انبعاج أويلر: يصبح العمود النحيف غير مستقر عند Pcr = π²EI/(KL)²، حيث KL الطول الفعّال: K = 1 لمفصلي–مفصلي، و 2 لمثبَّت–حرّ، و 0,7 لمثبَّت–مفصلي، و 0,5 لمثبَّت–مثبَّت. ينبعج حول المحور ذي أصغر I. تصحّ الصيغة للأعمدة النحيفة التي يبقى إجهادها الحرج دون إجهاد الخضوع.

الحمل الحرج المطلوب

Pcr = n·P = 3·95000 = 285000 N
KL = 0,7·5000 = 3500 mm

حلّ لإيجاد القطر

d = (64·n·P·(KL)²/(π³E))^(1/4) = (64·285000·3500²/(π³·70000))^(1/4) = 100,7 mm

الإجابة

d = 100,7 mm

تحقّق: النحافة KL/r تساوي 139، لذا العمود نحيف وتنطبق صيغة أويلر.

ExamProblems · examproblems.com/courses/structural-analysis